1. Вершины ААВС имсют координаты А (-2; 0; I), В(-1;2;3), С (8; -4; 9). Найдите координаты вектора ВМ , если ВМ - медиана ДАВС. 2. Дан вектор а {-6; 4; 12}. Найти координаты b ,…

Давайте рассмотрим каждый из ваших вопросов по порядку.

1. Нахождение координат вектора \( \mathbf{BM} \), где \( M \) - медиана треугольника \( ABC \):

   Чтобы найти координаты медианы \( M \) треугольника \( ABC \), необходимо сначала вычислить координаты точки \( M \), которая является серединой стороны \( AC \).

   Координаты точек:

   • \( A(-2; 0; 1) \)
   • \( B(-1; 2; 3) \)
   • \( C(8; -4; 9) \)

   Формула для нахождения середины отрезка \( AC \): \[ M\left( \frac{x_A + x_C}{2}, \frac{y_A + y_C}{2}, \frac{z_A + z_C}{2} \right) \]

   Подставим координаты точек: \[ M\left( \frac{-2 + 8}{2}, \frac{0 - 4}{2}, \frac{1 + 9}{2} \right) = M\left( \frac{6}{2}, \frac{-4}{2}, \frac{10}{2} \right) = M(3; -2; 5) \]

   Теперь найдем вектор \( \mathbf{BM} \): \[ \mathbf{BM} = M - B = (3 - (-1); -2 - 2; 5 - 3) = (3 + 1; -2 - 2; 5 - 3) = (4; -4; 2) \]

   Ответ: \( \mathbf{BM} = (4; -4; 2) \).

2. Нахождение координат вектора \( b \), если \( |b| = 7 \) и векторы \( a \) и \( b \) сонаправлены:

   Вектор \( a \) задан как \( \mathbf{a} = \{-6; 4; 12\} \). Чтобы найти координаты вектора \( b \), который сонаправлен с вектором \( a \), нам нужно выразить \( b \) через \( a \) с учетом заданной длины.

   Длина вектора \( a \) вычисляется по формуле: \[ |\mathbf{a}| = \sqrt{(-6)^2 + 4^2 + 12^2} = \sqrt{36 + 16 + 144} = \sqrt{196} = 14 \]

   Поскольку векторы сонаправлены, можно выразить \( b \) как: \[ b = k \cdot a \] где \( k \) – это коэффициент, который определяется как: \[ |b| = |k| \cdot |\mathbf{a}| \implies |k| = \frac{|b|}{|\mathbf{a}|} = \frac{7}{14} = \frac{1}{2} \]

   Следовательно, \( k \) будет равен \( \frac{1}{2} \) или \( -\frac{1}{2} \) (для сонаправленного \( b \) используем положительный).

   Подставляем значение \( k \): \[ b = \frac{1}{2} \cdot \{-6; 4; 12\} = \{-3; 2; 6\} \]

   Ответ: \( b = \{-3; 2; 6\} \).

3. Доказать, что фигура \( ABCD \) - прямоугольный:

   Для того чтобы доказать, что четырехугольник \( ABCD \) (или \( DABC \)), является прямоугольным, нам нужно проверить условия перпендикулярности двух сторон. Это можно сделать, выяснив, что скалярное произведение векторов равно нулю.

   Векторы \( AB \) и \( AC \): \[ \mathbf{AB} = B - A = (7 - (-1); -1 - 5; 3 - 3) = (8; -6; 0) \] \[ \mathbf{AC} = C - A = (3 - (-1); -2 - 5; 6 - 3) = (4; -7; 3) \]

   Вычислим скалярное произведение \( \mathbf{AB} \) и \( \mathbf{AC} \): \[ \mathbf{AB} \cdot \mathbf{AC} = 8 \cdot 4 + (-6) \cdot (-7) + 0 \cdot 3 = 32 + 42 + 0 = 74 \]

   Теперь расчитаем вектора \( BC \) и \( BA \): \[ \mathbf{BC} = C - B = (3 - 7; -2 - (-1); 6 - 3) = (-4; -1; 3) \] \[ \mathbf{BA} = A - B = (-1 - 7; 2 - (-1); 3 - 3) = (-8; 3; 0) \]

   Вычислим скалярное произведение \( \mathbf{BA} \) и \( \mathbf{BC} \): \[ \mathbf{BA} \cdot \mathbf{BC} = -8 \cdot (-4) + 3 \cdot (-1) + 0 \cdot 3 = 32 - 3 + 0 = 29 \]

   Если хотя бы одно из скалярных произведений равно нулю, значит фигура является прямоугольной.

   В результате, используя вычисленные значения, проверки не выявили перпендикулярности, и следовательно, фигура \( ABCD \) не является прямоугольной по данным вектора.

   Ответ: Доказательства не найдены, треугольник не является прямоугольным.

Эти задачи помогают лучше понять векторы и их свойства в пространстве. Если есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать!