Сколькими способами можно на чёрных клетках шахматной доски расставить в ладей, не бьющих друг друга? (Ладья бьёт по горизонтали и по вертикали).

Чтобы решить задачу о расстановке ладей на черных клетках шахматной доски, давайте рассмотрим следующие шаги.

1. Понимание шахматной доски: Стандартная шахматная доска состоит из 8x8 клеток, и темные клетки располагаются в шахматном порядке. Таким образом, из 64 клеток, 32 являются черными.

2. Необходимый принцип: Ладья атакует все клетки в своем ряду и столбце, поэтому для того, чтобы ладьи не били друг друга, мы можем ставить их только по одной на каждом ряду и столбце.

3. Выбор клеток: Поскольку черные клетки расположены в определенном порядке, когда мы рассматриваем черные клетки на шахматной доске, эти клетки находятся на позициях:

   • (1, 2), (1, 4), (1, 6), (1, 8)
   • (2, 1), (2, 3), (2, 5), (2, 7)
   • (3, 2), (3, 4), (3, 6), (3, 8)
   • (4, 1), (4, 3), (4, 5), (4, 7)
   • (5, 2), (5, 4), (5, 6), (5, 8)
   • (6, 1), (6, 3), (6, 5), (6, 7)
   • (7, 2), (7, 4), (7, 6), (7, 8)
   • (8, 1), (8, 3), (8, 5), (8, 7)

4. Количество черных клеток по рядам: На каждом ряду есть по 4 черные клетки, и всего 8 рядов.

5. Количество расстановок: Мы можем расставить 8 ладей на 8 различных черных клетках. Для первой ладьи мы можем выбрать 4 клетки из первого ряда (4 варианта), затем для второй ладьи на следующем ряду мы можем выбрать 4 клетки, но уже у нас останется 3 клетки, чтобы не нападать на предыдущую. Таким образом, мы можем продолжать, пока не расставим все 8 ладей.

Это задача, которая относится к комбинаторике, и используя принцип размещения без повторений, мы получаем, что:

Количество способов расставить 8 ладей на черных клетках шахматной доски, не бьющих друг друга, равно факториалу от 4:

\[ N = 4! \cdot 4! \cdot 4! \cdot 4! = 24^4 = 331776. \]

Таким образом, на черных клетках шахматной доски можно расставить 8 ладей, не бьющих друг друга, 331776 способами.