-5x²≤x

Чтобы решить неравенство \(-5x^2 \leq x\), начнем с его преобразования:

1. Переносим все члены на одну сторону: \[ -5x^2 - x \leq 0 \]

2. Умножим неравенство на -1, при этом знаки неравенства изменятся: \[ 5x^2 + x \geq 0 \]

3. Теперь можно вынести общий множитель: \[ x(5x + 1) \geq 0 \]

Теперь нужно найти корни уравнения \(5x^2 + x = 0\): Это уравнение имеет два корня:

• \(x = 0\)
• \(5x + 1 = 0\) → \(x = -\frac{1}{5}\)

Теперь определим знаковые интервалы, используя корни \(x = 0\) и \(x = -\frac{1}{5}\). Эти точки разбивают числовую прямую на три интервала:

1. \( (-\infty, -\frac{1}{5}) \)
2. \( (-\frac{1}{5}, 0) \)
3. \( (0, +\infty) \)

Теперь можем проверить знак произведения \(x(5x + 1)\) в каждом из интервалов:

• Для \(x < -\frac{1}{5}\) (например, \(-1\)): \[ -1(5(-1) + 1) = -1(-4) = 4 \geq 0 \quad \text{(положительный)} \]

• Для \(-\frac{1}{5} < x < 0\) (например, \(-\frac{1}{10}\)): \[ -\frac{1}{10}(5(-\frac{1}{10}) + 1) = -\frac{1}{10}(-\frac{1}{2}) = \frac{1}{20} \geq 0 \quad \text{(положительный)} \]

• Для \(x > 0\) (например, \(1\)): \[ 1(5 \cdot 1 + 1) = 1(6) = 6 \geq 0 \quad \text{(положительный)} \]

Таким образом, произведение \(x(5x + 1)\) положительно на интервалах \((-\infty, -\frac{1}{5})\), \((- \frac{1}{5}, 0)\) и на интервале \( (0, +\infty) \).

Не забывая о включении границ, получаем: \[ x \in (-\infty, -\frac{1}{5}] \cup [0, +\infty) \]

Вот так выглядит решение неравенства \(-5x^2 \leq x\). Если у вас есть дополнительные вопросы по этой теме, не стесняйтесь спрашивать!