Кузнечик прыгает вдоль координатной прямой в любом направлении на единичный отрезок за прыжок, делая первый прыжок из начала координат. Сколько существует различных точек на координатной прямой, в которых кузнечик может оказаться, совершив ровно 11 прыжков?

Question 1

Задача Задача №1827615

А

Аноним

13 октября 2024 07:35 · публичный вопрос

А

Аноним 13 октября 2024 07:35

Кузнечик прыгает вдоль координатной прямой в любом направлении на единичный отрезок за прыжок, делая первый прыжок из начала координат. Сколько существует различных точек на координатной прямой, в которых кузнечик может оказаться, совершив ровно 11 прыжков?

Answer

Для решения задачи о кузнечике, который делает 11 прыжков на координатной прямой, нужно понять, каким образом можно пересчитывать возможные позиции, в которых он может оказаться.

Каждый прыжок кузнечика может быть в двух направлениях: вправо (+1) и влево (-1). Если кузнечик совершает 11 прыжков, то давайте обозначим количество прыжков вправо как \( n_+\) и количество прыжков влево как \( n_- \). Так как всего прыжков 11, можно записать уравнение:

\[ n_+ + n_- = 11 \]

После каждого прыжка кузнечик перемещается на \( n_+ - n_- \) в итоге. Сначала кузнечик находится в точке 0:

\[ x = n_+ - n_- \]

Теперь можем выразить \( n_-\) через \( n_+\):

\[ n_- = 11 - n_+ \]

Подставим это в уравнение для позиции:

\[ x = n_+ - (11 - n_+) = 2n_+ - 11 \]

Таким образом, кузнечик может оказаться в точках \( x \), зависящих от значения \( n_+\). Мы видим, что \( n_+\) может принимать значения от 0 до 11, и в каждом случае мы получаем разные значения \( x\):

Если \( n_+ = 0 \), то \( x = 2 \cdot 0 - 11 = -11\)
Если \( n_+ = 1 \), то \( x = 2 \cdot 1 - 11 = -9\)
Если \( n_+ = 2 \), то \( x = 2 \cdot 2 - 11 = -7\)
Если \( n_+ = 3 \), то \( x = 2 \cdot 3 - 11 = -5\)
Если \( n_+ = 4 \), то \( x = 2 \cdot 4 - 11 = -3\)
Если \( n_+ = 5 \), то \( x = 2 \cdot 5 - 11 = -1\)
Если \( n_+ = 6 \), то \( x = 2 \cdot 6 - 11 = 1\)
Если \( n_+ = 7 \), то \( x = 2 \cdot 7 - 11 = 3\)
Если \( n_+ = 8 \), то \( x = 2 \cdot 8 - 11 = 5\)
Если \( n_+ = 9 \), то \( x = 2 \cdot 9 - 11 = 7\)
Если \( n_+ = 10 \), то \( x = 2 \cdot 10 - 11 = 9\)
Если \( n_+ = 11 \), то \( x = 2 \cdot 11 - 11 = 11\)

Теперь можем определить все возможные конечные позиции. Это:

\(-11, -9, -7, -5, -3, -1, 1, 3, 5, 7, 9, 11\)

Каждая итоговая позиция отличается на 2 от предыдущей, начиная с -11 и заканчивая 11. Всего таких позиций 12.

Таким образом, кузнечик может оказаться в 12 различных точках на координатной прямой.

Question 2

Кузнечик прыгает вдоль координатной прямой в любом направлении на единичный отрезок за прыжок, делая первый прыжок из начала координат. Сколько существует различных точек на координатной прямой, в которых кузнечик может оказаться, совершив ровно 11 прыжков?

Answer

Для решения задачи о кузнечике, который делает 11 прыжков на координатной прямой, нужно понять, каким образом можно пересчитывать возможные позиции, в которых он может оказаться. Каждый прыжок кузнечика может быть в двух направлениях: вправо (+1) и влево (-1). Если кузнечик совершает 11 прыжков, то давайте обозначим количество прыжков вправо как \( n_+\) и количество прыжков влево как \( n_- \). Так как всего прыжков 11, можно записать уравнение: \[ n_+ + n_- = 11 \] После каждого прыжка кузнечик перемещается на \( n_+ - n_- \) в итоге. Сначала кузнечик находится в точке 0: \[ x = n_+ - n_- \] Теперь можем выразить \( n_-\) через \( n_+\): \[ n_- = 11 - n_+ \] Подставим это в уравнение для позиции: \[ x = n_+ - (11 - n_+) = 2n_+ - 11 \] Таким образом, кузнечик может оказаться в точках \( x \), зависящих от значения \( n_+\). Мы видим, что \( n_+\) может принимать значения от 0 до 11, и в каждом случае мы получаем разные значения \( x\): - Если \( n_+ = 0 \), то \( x = 2 \cdot 0 - 11 = -11\) - Если \( n_+ = 1 \), то \( x = 2 \cdot 1 - 11 = -9\) - Если \( n_+ = 2 \), то \( x = 2 \cdot 2 - 11 = -7\) - Если \( n_+ = 3 \), то \( x = 2 \cdot 3 - 11 = -5\) - Если \( n_+ = 4 \), то \( x = 2 \cdot 4 - 11 = -3\) - Если \( n_+ = 5 \), то \( x = 2 \cdot 5 - 11 = -1\) - Если \( n_+ = 6 \), то \( x = 2 \cdot 6 - 11 = 1\) - Если \( n_+ = 7 \), то \( x = 2 \cdot 7 - 11 = 3\) - Если \( n_+ = 8 \), то \( x = 2 \cdot 8 - 11 = 5\) - Если \( n_+ = 9 \), то \( x = 2 \cdot 9 - 11 = 7\) - Если \( n_+ = 10 \), то \( x = 2 \cdot 10 - 11 = 9\) - Если \( n_+ = 11 \), то \( x = 2 \cdot 11 - 11 = 11\) Теперь можем определить все возможные конечные позиции. Это: \(-11, -9, -7, -5, -3, -1, 1, 3, 5, 7, 9, 11\) Каждая итоговая позиция отличается на 2 от предыдущей, начиная с -11 и заканчивая 11. Всего таких позиций 12. Таким образом, кузнечик может оказаться в **12 различных точках** на координатной прямой.