Известно, что в прямоугольном параллелепипеде M N K P M 1 N 1 K 1 P 1 MNKPM 1 ​ N 1 ​ K 1 ​ P 1 ​ длины отрезков M N MN , N K NK и P P 1 PP 1 ​ соответственно равны 3 3 см, 4 4 см…

Чтобы найти длину пространственной ломаной \( MKK_1P_1M_1 \) в заданном прямоугольном параллелепипеде, нужно учитывать координаты точек и длины отрезков.

1. Определим координаты вершин:

   • Положим \( M(0, 0, 0) \)
   • \( N(3, 0, 0) \) (MN = 3 см)
   • \( K(3, 4, 0) \) (NK = 4 см)
   • \( P(0, 0, 8) \) (PP1 = 8 см)
   • \( M_1(0, 0, 8) \)
   • \( N_1(3, 0, 8) \)
   • \( K_1(3, 4, 8) \)
   • \( P_1(0, 4, 8) \)

2. Выразим расстояния по отрезкам ломаной:

   • \( MK = \sqrt{(3-0)^2 + (4-0)^2 + (0-0)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \) см
   • \( KK_1 = 8 \) см
   • \( K_1P_1 = \sqrt{(0-3)^2 + (4-4)^2 + (8-8)^2} = \sqrt{(-3)^2 + 0 + 0} = 3 \) см
   • \( P_1M_1 = \sqrt{(0-0)^2 + (0-4)^2 + (8-8)^2} = \sqrt{0 + (-4)^2 + 0} = 4 \) см

3. Теперь сложим найденные длины: \[ \text{Длина ломаной } MKK_1P_1M_1 = MK + KK_1 + K_1P_1 + P_1M_1 = 5 + 8 + 3 + 4 = 20 \text{ см} \]

Таким образом, длина пространственной ломаной \( MKK_1P_1M_1 \) равна 20 см.