В случайном эксперименте симметричную монету бросают четыре раза. найдите вероятность того, что орел выпадет ровно 2 раза.
Чтобы найти вероятность того, что при бросании симметричной монеты орел выпадет ровно 2 раза из 4 бросков, можно воспользоваться формулой биномиального распределения. В данном случае:
- \( n \) — общее количество бросков (в нашем случае 4),
- \( k \) — количество успехов (то есть количество орлов, которое мы хотим получить, здесь 2),
- \( p \) — вероятность получения орла в одном броске. Для симметричной монеты \( p = 0.5 \).
Формула для вычисления вероятности выглядит следующим образом:
\[ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} \]
где \( \binom{n}{k} \) — это биномиальный коэффициент, который можно вычислить как:
\[ \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]
Теперь подставим наши значения:
- \( n = 4 \)
- \( k = 2 \)
- \( p = 0.5 \)
Сначала вычислим биномиальный коэффициент \( \binom{4}{2} \):
\[ \binom{4}{2} = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6 \]
Теперь подставим значения в формулу вероятности:
\[ P(X = 2) = 6 \times (0.5)^2 \times (0.5)^{4-2} \]
Упрощаем:
\[ P(X = 2) = 6 \times (0.5)^2 \times (0.5)^2 = 6 \times (0.5)^4 = 6 \times \frac{1}{16} = \frac{6}{16} = \frac{3}{8} \]
Таким образом, вероятность того, что орел выпадет ровно 2 раза из 4 бросков, составляет \( \frac{3}{8} \) или 0.375.
