Решить уравнение методом интервалов: 4х^2-х-3≥0
Давайте решим неравенство \( 4x^2 - x - 3 \geq 0 \) методом интервалов.
Найдем корни квадратного уравнения \( 4x^2 - x - 3 = 0 \) с помощью дискриминанта.
Дискриминант \( D \) вычисляется по формуле: \[ D = b^2 - 4ac, \] где \( a = 4 \), \( b = -1 \), \( c = -3 \).
Подставляем значения: \[ D = (-1)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 1 + 48 = 49. \]
Корни уравнения находятся по формуле: \[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}. \]
Подставляем: \[ x_{1,2} = \frac{-(-1) \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 4} = \frac{1 \pm 7}{8}. \]
Таким образом, находим два корня: \[ x_1 = \frac{8}{8} = 1, \] \[ x_2 = \frac{-6}{8} = -\frac{3}{4}. \]
Наносим корни на числовую прямую: У нас есть два корня: \( x_1 = 1 \) и \( x_2 = -\frac{3}{4} \).
Определим интервалы: Мы теперь делим числовую прямую на три интервала:
- \( (-\infty, -\frac{3}{4}) \)
- \( (-\frac{3}{4}, 1) \)
- \( (1, +\infty) \)
Выбираем тестовые точки в каждом интервале для проверки знака выражения \( 4x^2 - x - 3 \):
Для интервала \( (-\infty, -\frac{3}{4}) \), например, возьмем \( x = -1 \): \[ 4(-1)^2 - (-1) - 3 = 4 + 1 - 3 = 2 > 0. \]
Для интервала \( (-\frac{3}{4}, 1) \), например, возьмем \( x = 0 \): \[ 4(0)^2 - 0 - 3 = -3 < 0. \]
Для интервала \( (1, +\infty) \), например, возьмем \( x = 2 \): \[ 4(2)^2 - 2 - 3 = 16 - 2 - 3 = 11 > 0. \]
Обозначим знаки:
- В интервале \( (-\infty, -\frac{3}{4}) \): \( > 0 \)
- В интервале \( (-\frac{3}{4}, 1) \): \( < 0 \)
- В интервале \( (1, +\infty) \): \( > 0 \)
Учитываем границы: Корни \( x = -\frac{3}{4} \) и \( x = 1 \) включены в решение, так как мы рассматриваем неравенство \( \geq 0 \).
Записываем решение: Объединяем интервалы, где функция положительна или равна нулю: \[ x \in \left(-\infty, -\frac{3}{4}\right] \cup [1, +\infty). \]
Таким образом, решение неравенства \( 4x^2 - x - 3 \geq 0 \) — это \( x \in (-\infty, -\frac{3}{4}] \cup [1, +\infty) \).
