решить уравнение методом интервалов: 2+х-х^2/х-3<0
Чтобы решить неравенство \( \frac{2 + x - x^2}{x - 3} < 0 \) методом интервалов, следуем пошагово:
Приведем неравенство к стандартному виду. Для этого рассмотрим числитель и знаменатель отдельно:
Числитель: \( 2 + x - x^2 = -x^2 + x + 2 \).
Знаменатель: \( x - 3 \).Найдем корни числителя. Решим уравнение \( -x^2 + x + 2 = 0 \), или эквивалентное ему \( x^2 - x - 2 = 0 \). Мы можем использовать формулу корней квадратного уравнения:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2)}}{2 \cdot 1} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{1 \pm 3}{2} \]
Таким образом, получаем корни \( x_1 = 2 \) и \( x_2 = -1 \).
Рассмотрим выражение при знаменателе. Знаменатель равен нулю при \( x = 3 \).
Составим множители и интервалы. Теперь у нас есть корни \( -1 \), \( 2 \) и точка разрыва \( 3 \). Это делит числовую ось на интервалы:
- \( (-\infty, -1) \)
- \( (-1, 2) \)
- \( (2, 3) \)
- \( (3, +\infty) \)
Определим знак выражения на каждом интервале. Выберем тестовые значения из каждого интервала:
Для \( x = -2 \) (интервал \( (-\infty, -1) \)): \[ \frac{2 - 2 - 4}{-2 - 3} = \frac{-4}{-5} > 0 \]
Для \( x = 0 \) (интервал \( (-1, 2) \)): \[ \frac{2 + 0 - 0}{0 - 3} = \frac{2}{-3} < 0 \]
Для \( x = 2.5 \) (интервал \( (2, 3) \)): \[ \frac{2 + 2.5 - (2.5)^2}{2.5 - 3} = \frac{2 + 2.5 - 6.25}{-0.5} = \frac{-1.75}{-0.5} > 0 \]
Для \( x = 4 \) (интервал \( (3, +\infty) \)): \[ \frac{2 + 4 - 16}{4 - 3} = \frac{-10}{1} < 0 \]
Подведем итоги по знакам. Теперь мы можем записать знак функции на каждом интервале:
- \( (-\infty, -1) \) : \( > 0 \)
- \( (-1, 2) \) : \( < 0 \)
- \( (2, 3) \) : \( > 0 \)
- \( (3, +\infty) \) : \( < 0 \)
Запишем решение неравенства. Мы ищем, где выражение меньше нуля:
- Это происходит на интервалах \( (-1, 2) \) и \( (3, +\infty) \).
Наконец, обобщая, решение неравенства:
\[ x \in (-1, 2) \cup (3, +\infty) \]
Таким образом, вы получили решение заданного неравенства!
