Какие из чисел 1,2,3-√2, -7+√2 являются корнями квадратного трёхчлена х²-6х+7?

Чтобы определить, являются ли числа 1, 2, 3 - √2 и -7 + √2 корнями квадратного трёхчлена \( x^2 - 6x + 7 \), нужно подставить каждое из чисел в уравнение и проверить, равно ли значение нулю.

Квадратный трёхчлен имеет вид \( ax^2 + bx + c \) и корни удовлетворяют уравнению \( ax^2 + bx + c = 0 \). В данном случае \( a = 1 \), \( b = -6 \), \( c = 7 \).

Теперь проверим каждое число:

1. Для \( x = 1 \): \[ 1^2 - 6 \cdot 1 + 7 = 1 - 6 + 7 = 2 \quad (\text{не корень}) \]

2. Для \( x = 2 \): \[ 2^2 - 6 \cdot 2 + 7 = 4 - 12 + 7 = -1 \quad (\text{не корень}) \]

3. Для \( x = 3 - \sqrt{2} \): \[ (3 - \sqrt{2})^2 - 6(3 - \sqrt{2}) + 7 \] Сначала найдём \((3 - \sqrt{2})^2\): \[ (3 - \sqrt{2})^2 = 9 - 6\sqrt{2} + 2 = 11 - 6\sqrt{2} \] Теперь подставим в исходное уравнение: \[ (11 - 6\sqrt{2}) - 6(3 - \sqrt{2}) + 7 = 11 - 6\sqrt{2} - 18 + 6\sqrt{2} + 7 = 0 \quad (\text{корень}) \]

4. Для \( x = -7 + \sqrt{2} \): \[ (-7 + \sqrt{2})^2 - 6(-7 + \sqrt{2}) + 7 \] Сначала найдём \((-7 + \sqrt{2})^2\): \[ (-7 + \sqrt{2})^2 = 49 - 14\sqrt{2} + 2 = 51 - 14\sqrt{2} \] Подставим: \[ (51 - 14\sqrt{2}) + 42 - 6\sqrt{2} + 7 = 51 - 14\sqrt{2} + 42 - 6\sqrt{2} + 7 = 100 - 20\sqrt{2} \] При этом выражение не равно 0, следовательно, не является корнем.

Подводя итоги, среди рассмотренных чисел, только \( 3 - \sqrt{2} \) является корнем квадратного трёхчлена \( x^2 - 6x + 7 \).