105. Найдите производную функции, определённой на промежутке (0; +∞): 1) y =√x; 5) y=1/x² 2) y = √x⁵; 6) y = 1/x⁵ 3) y = ∛x² 8) y =1/∛x² 7) y=1/√x
Давайте разберем каждый из указанных вами примеров и найдем производные для каждой функции.
Для функции \( y = \sqrt{x} \): Используя правило производной корня, получаем: \[ y' = \frac{1}{2\sqrt{x}}. \]
Для функции \( y = \sqrt{x^5} \): Упрощаем функцию: \[ y = x^{5/2}. \] Теперь находим производную: \[ y' = \frac{5}{2}x^{3/2}. \]
Для функции \( y = \sqrt[3]{x^2} \): Упрощаем функцию: \[ y = x^{2/3}. \] Находим производную: \[ y' = \frac{2}{3}x^{-1/3}. \]
Для функции \( y = \frac{1}{x^2} \): Используем правило производной дроби: \[ y' = -\frac{2}{x^3}. \]
Для функции \( y = \frac{1}{x^5} \): Аналогично предыдущему примеру: \[ y' = -\frac{5}{x^6}. \]
Для функции \( y = \frac{1}{\sqrt{x}} \): Записываем как: \[ y = x^{-1/2}. \] Находим производную: \[ y' = -\frac{1}{2}x^{-3/2}. \]
Для функции \( y = \frac{1}{\sqrt[3]{x^2}} \): Записываем как: \[ y = x^{-2/3}. \] Находим производную: \[ y' = -\frac{2}{3}x^{-5/3}. \]
Таким образом, вы получили производные всех указанных функций. Если у вас есть дополнительные вопросы по темам производных или другим математическим концепциям, не стесняйтесь задавать!
