Найдите критические точки функции. Определите, какие точками максимума, а какие - точками минимума: a）y= -x^3-3x+2； б) y= 5+12xーx^3

Чтобы найти критические точки функции, нужно взять производную и приравнять ее к нулю. Затем, используя вторую производную, можно определить, являются ли эти точки максимумами или минимумами.

a) \( y = -x^3 - 3x + 2 \)

1. Найдем первую производную: \[ y' = \frac{dy}{dx} = -3x^2 - 3 \]

2. Приравняем первую производную к нулю: \[ -3x^2 - 3 = 0 \] \[ -3(x^2 + 1) = 0 \] Это уравнение не имеет действительных корней, так как \( x^2 + 1 > 0 \) для всех \( x \) в действительных числах.

Таким образом, функция не имеет критических точек.

б) \( y = 5 + 12x - x^3 \)

1. Найдем первую производную: \[ y' = \frac{dy}{dx} = 12 - 3x^2 \]

2. Приравняем первую производную к нулю: \[ 12 - 3x^2 = 0 \] \[ 3x^2 = 12 \] \[ x^2 = 4 \] \[ x = \pm 2 \]

3. Теперь найдем вторую производную: \[ y'' = \frac{d^2y}{dx^2} = -6x \]

4. Определим характер критических точек:

   • Для \( x = 2 \): \[ y''(2) = -6 \cdot 2 = -12 < 0 \quad (\text{максимум}) \]
   • Для \( x = -2 \): \[ y''(-2) = -6 \cdot (-2) = 12 > 0 \quad (\text{минимум}) \]

Таким образом, для функции \( y = 5 + 12x - x^3 \) критические точки:

• \( x = 2 \): максимум
• \( x = -2 \): минимум

Итог:

• Для функции \( y = -x^3 - 3x + 2 \): нет критических точек.
• Для функции \( y = 5 + 12x - x^3 \):
  • максимум в \( x = 2 \),
  • минимум в \( x = -2 \).