Проверьте, не используя таблиц истинности, являются ли следующие формулы тождественно истинными. В ответ укажите те выражения, которые являются тождественно истинными. ⌐x → (x → y) ⌐(x → (y → x)) y → x → (⌐x → ⌐y) (x → y) ˄ (x → ⌐y) → ⌐x ⌐(x ˄ ⌐x → y) → z → w ˄ ⌐w
Давайте разберём каждую из предложенных формул и выясним, являются ли они тождественно истинными.
⌐x → (x → y)
Если x истинно (x = 1), то ⌐x ложно (0), и следовательно, всё выражение становится истинным. Если x ложно (x = 0), то ⌐x истинно (1), и x → y тоже истинно, независимо от значения y. Таким образом, это выражение тождественно истинно.⌐(x → (y → x))
Внутреннее выражение x → (y → x) всегда истинно: если x ложно, то всё выражение истинно угодно y; если x истинно, то y → x истинно, так как x = 1. Следовательно, negate этой формулы будет ложным. Таким образом, эта формула не является тождественно истинной.y → x → (⌐x → ⌐y)
Мы можем переписать это выражение: y → (x → (⌐x → ⌐y)). Если x истинно, тогда ⌐x ложное, а значит ⌐y должно быть истинно, чтобы всё выражение было истинным, что не всегда соблюдается. Если y истинно, то это тоже может привести к ложности всего выражения. Следовательно, это выражение тоже не тождественно истинно.(x → y) ˄ (x → ⌐y) → ⌐x
Здесь если x истинно, то y и ⌐y не могут быть одновременно истинными. Поэтому x не может быть истинно, если одновременно верны обе части. Если x ложно, ⌐x истинно, и следовательно, вся конструкция становится истинной. Таким образом, эта формула тоже является тождественно истинной.⌐(x ˄ ⌐x → y) → z → w ˄ ⌐w
Выражение внутри скобок x ˄ ⌐x всегда ложно, поэтому ⌐(ложь) истинно для любого y. Следовательно, всё выражение связано с z и w, которые могут принимать значения, приводящие к ложности. Таким образом, это выражение не является тождественно истинным.
Итак, результаты анализа:
- Тождественно истинные формулы:
- ⌐x → (x → y)
- (x → y) ˄ (x → ⌐y) → ⌐x
Эти две формулы являются тождественно истинными. Если вам нужна помощь с пониманием каких-либо из этих шагов или других тем, не стесняйтесь спрашивать!
