(2x+3)×(2x+1)/(x-1)×(x-4)>=0

Давайте разберем неравенство \((2x + 3) \times (2x + 1) / ((x - 1) \times (x - 4)) \geq 0\) пошагово.

1. Обозначим числитель и знаменатель:

   • Числитель: \( (2x + 3)(2x + 1) \)
   • Знаменатель: \( (x - 1)(x - 4) \)

2. Находим нули числителя: Решаем уравнения: \[ 2x + 3 = 0 \implies x = -\frac{3}{2} \] \[ 2x + 1 = 0 \implies x = -\frac{1}{2} \]

3. Находим нули знаменателя: Решаем уравнения: \[ x - 1 = 0 \implies x = 1 \] \[ x - 4 = 0 \implies x = 4 \]

4. Определим критические точки: Критические точки, которые разделяют числовую прямую на интервалы: \[ x = -\frac{3}{2}, \, x = -\frac{1}{2}, \, x = 1, \, x = 4 \]

5. Построим числовую прямую и определим знаки на каждом интервале: Интервалы:

   • \( (-\infty, -\frac{3}{2}) \)
   • \( (-\frac{3}{2}, -\frac{1}{2}) \)
   • \( (-\frac{1}{2}, 1) \)
   • \( (1, 4) \)
   • \( (4, +\infty) \)

   Теперь проверим знак всего выражения на каждом из интервалов, подставляя значения из каждого интервала в исходное выражение:

   • Для интервала \( (-\infty, -\frac{3}{2}) \) (например, \( x = -2 \)): \[ \text{Знак} = (+) \times (+) / (-) \times (-) = +/ + = + \]
   • Для интервала \( (-\frac{3}{2}, -\frac{1}{2}) \) (например, \( x = -1 \)): \[ \text{Знак} = (+) \times (+) / (-) \times (-) = +/ + = + \]
   • Для интервала \( (-\frac{1}{2}, 1) \) (например, \( x = 0 \)): \[ \text{Знак} = (+) \times (+) / (-) \times (-) = +/ + = + \]
   • Для интервала \( (1, 4) \) (например, \( x = 2 \)): \[ \text{Знак} = (+) \times (+) / (+) \times (-) = +/ - = - \]
   • Для интервала \( (4, +\infty) \) (например, \( x = 5 \)): \[ \text{Знак} = (+) \times (+) / (+) \times (+) = +/ + = + \]

6. Итоговые значения: Мы ищем, где выражение не отрицательно:

   • Значение положительно на интервалах \( (-\infty, -\frac{3}{2}) \), \( (-\frac{3}{2}, -\frac{1}{2}) \), \( (-\frac{1}{2}, 1) \) и \( (4, +\infty) \).
   • При \( x = -\frac{3}{2} \) и \( x = -\frac{1}{2} \) выражение равно нулю.
   • В точках \( x = 1 \) и \( x = 4 \) выражение не определено.

7. Запись окончательного результата: Решение неравенства: \[ x \in \left(-\infty, -\frac{3}{2}\right) \cup \left[-\frac{3}{2}, -\frac{1}{2}\right] \cup \left[-\frac{1}{2}, 1\right) \cup (4, +\infty) \]

Таким образом, все решения неравенства представлены выше. Если у вас есть дополнительные вопросы, feel free to ask!