Найдите значения производной функции f(x) =3tg x -5x в точке x = 7π/6

Чтобы найти значение производной функции \( f(x) = 3 \tan x - 5x \) в точке \( x = \frac{7\pi}{6} \), сначала необходимо найти производную функции \( f(x) \).

1. Найдем производную \( f'(x) \): \[ f'(x) = \frac{d}{dx}(3 \tan x) - \frac{d}{dx}(5x) \] Используя известные формулы: \[ \frac{d}{dx}(\tan x) = \sec^2 x \quad \text{и} \quad \frac{d}{dx}(5x) = 5, \] получаем: \[ f'(x) = 3 \sec^2 x - 5. \]

2. Теперь подставим \( x = \frac{7\pi}{6} \) в производную: \[ f'\left(\frac{7\pi}{6}\right) = 3 \sec^2\left(\frac{7\pi}{6}\right) - 5. \]

3. Найдем \( \sec\left(\frac{7\pi}{6}\right) \): \(\sec x = \frac{1}{\cos x}\).

   Зная, что \( \cos\left(\frac{7\pi}{6}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2} \), получаем: \[ \sec\left(\frac{7\pi}{6}\right) = -\frac{2}{\sqrt{3}}. \]

   Следовательно: \[ \sec^2\left(\frac{7\pi}{6}\right) = \left(-\frac{2}{\sqrt{3}}\right)^2 = \frac{4}{3}. \]

4. Подставим это значение обратно в производную: \[ f'\left(\frac{7\pi}{6}\right) = 3 \cdot \frac{4}{3} - 5 = 4 - 5 = -1. \]

Таким образом, значение производной функции \( f(x) = 3 \tan x - 5x \) в точке \( x = \frac{7\pi}{6} \) равно \( -1 \).