|x+3|+|2x-1|=8
Для решения уравнения \(|x+3| + |2x-1| = 8\), начнем с определения, в каких случаях модули будут позитивными или негативными. У нас есть два модуля: \(|x+3|\) и \(|2x-1|\).
- Найдем нули модулей:
- \(|x+3| = 0\) при \(x = -3\)
- \(|2x-1| = 0\) при \(x = \frac{1}{2}\)
Эти значения разделяют числовую прямую на три интервала:
- Интервал 1: \(x < -3\)
- Интервал 2: \(-3 \leq x < \frac{1}{2}\)
- Интервал 3: \(x \geq \frac{1}{2}\)
Теперь мы рассмотрим каждый из этих интервалов.
Интервал 1: \(x < -3\)
В этом интервале \(|x+3| = -(x+3)\) и \(|2x-1| = -(2x-1)\). Подставляем в уравнение: \[ -(x + 3) - (2x - 1) = 8 \] Упрощаем: \[ -x - 3 - 2x + 1 = 8 \implies -3x - 2 = 8 \implies -3x = 10 \implies x = -\frac{10}{3} \approx -3.33 \] Поскольку \(-\frac{10}{3} < -3\), это решение подходит.
Интервал 2: \(-3 \leq x < \frac{1}{2}\)
Здесь \(|x+3| = x + 3\) и \(|2x-1| = -(2x-1)\): \[ (x + 3) - (2x - 1) = 8 \] Упрощаем: \[ x + 3 - 2x + 1 = 8 \implies -x + 4 = 8 \implies -x = 4 \implies x = -4 \] Но \(-4 < -3\), значит, это решение не подходит в данный интервал.
Интервал 3: \(x \geq \frac{1}{2}\)
Здесь \(|x+3| = x + 3\) и \(|2x-1| = 2x - 1\): \[ (x + 3) + (2x - 1) = 8 \] Упрощаем: \[ x + 3 + 2x - 1 = 8 \implies 3x + 2 = 8 \implies 3x = 6 \implies x = 2 \] Поскольку \(2 \geq \frac{1}{2}\), это решение подходит.
Ответ
Таким образом, у нас два решения: \(x = -\frac{10}{3}\) и \(x = 2\). Проверив каждое из решений в исходном уравнении, можем удостовериться, что оба решения верны.
