(x + 2) ^ 4 - 4 * (x + 2) ^ 2 - 5 = 0
Для решения уравнения \((x + 2)^4 - 4 \cdot (x + 2)^2 - 5 = 0\) удобно сделать замену переменной. Обозначим \(y = (x + 2)^2\). Тогда уравнение можно переписать следующим образом:
\[ y^2 - 4y - 5 = 0. \]
Теперь у нас есть квадратное уравнение, которое можно решить с помощью формулы для нахождения корней квадратного уравнения:
\[ y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}, \]
где \(a = 1\), \(b = -4\), \(c = -5\).
Подставим значения в формулу:
\[ y = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5)}}{2 \cdot 1}. \]
Это упрощается до:
\[ y = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 20}}{2}. \] \[ y = \frac{4 \pm \sqrt{36}}{2}. \] \[ y = \frac{4 \pm 6}{2}. \]
Теперь находим два значения для \(y\):
- \(y_1 = \frac{10}{2} = 5\),
- \(y_2 = \frac{-2}{2} = -1\).
Теперь возвращаемся к переменной \(x\):
Для \(y_1 = 5\): \((x + 2)^2 = 5\). Это уравнение имеет два решения: \[ x + 2 = \sqrt{5} \quad \text{или} \quad x + 2 = -\sqrt{5}. \] Соответственно, \[ x = \sqrt{5} - 2 \quad \text{или} \quad x = -\sqrt{5} - 2. \]
Для \(y_2 = -1\): \((x + 2)^2 = -1\). Это уравнение не имеет действительных решений, так как квадрат любого числа не может быть отрицательным.
Таким образом, окончательные решения уравнения \((x + 2)^4 - 4 \cdot (x + 2)^2 - 5 = 0\) будут:
\[ x = \sqrt{5} - 2 \quad \text{и} \quad x = -\sqrt{5} - 2. \]
