Решите уравнение выполнив подходящую замену переменной ( x² - 3X) ( X - 1) (X - 2) = 24
Давайте решим уравнение \((x^2 - 3x)(x - 1)(x - 2) = 24\) с использованием подходящей замены переменной.
Для начала, упростим левые части уравнения. Введём замену переменной \(y = x^2 - 3x\). Тогда уравнение можно переписать следующим образом:
\[ y(x - 1)(x - 2) = 24. \]
Теперь мы также можем выразить \(x - 1\) и \(x - 2\) через \(y\):
Заменим \(x\) обратно через \(y\):
- Рассмотрим множители: \((x - 1)(x - 2)\) также можно выразить через \(y\). Разложим его:
\[ (x - 1)(x - 2) = x^2 - 3x + 2 = y + 2. \]
Теперь подставим это в уравнение:
\[ y(y + 2) = 24. \]
Раскроем скобки:
\[ y^2 + 2y - 24 = 0. \]
Теперь решим это квадратное уравнение, используя дискриминант:
\[ D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 4 + 96 = 100. \]
Так как дискриминант положительный, у нас есть два корня:
\[ y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 \pm 10}{2}. \]
Таким образом, получаем:
\[ y_1 = \frac{8}{2} = 4, \quad y_2 = \frac{-12}{2} = -6. \]
Теперь вернемся к переменной \(x\):
- Для \(y_1 = 4\):
\[ x^2 - 3x = 4 \implies x^2 - 3x - 4 = 0. \] Решаем это уравнение:
\[ D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25. \]
Следовательно, \[ x_{1,2} = \frac{3 \pm 5}{2} \implies x_1 = 4, \quad x_2 = -1. \]
- Для \(y_2 = -6\):
\[ x^2 - 3x = -6 \implies x^2 - 3x + 6 = 0. \] Решим это уравнение:
\[ D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 9 - 24 = -15. \]
Так как дискриминант отрицательный, у этого уравнения нет действительных корней.
Итак, окончательные решения уравнения \((x^2 - 3x)(x - 1)(x - 2) = 24\) — это:
\[ x = 4 \quad \text{и} \quad x = -1. \]
Если у вас есть еще вопросы по этой теме или другим темам, не стесняйтесь спрашивать!
