Рассчитай период обращения спутника планеты, двигающегося по низкой круговой орбите вблизи её поверхности, учитывая радиус планеты - 7 • 10° км - и её плотность - 1394 кг/м°. Справочные данные: гравитационная постоянная G = 6,7 • 10-11 Н-м2 кr2 (Ответ округли до сотых.) Ответ:
Для расчета периода обращения спутника, который движется по низкой круговой орбите, необходимо воспользоваться формулой для периода обращения \( T \):
\[ T = 2\pi \sqrt{\frac{r^3}{GM}}, \]
где:
- \( T \) — период обращения,
- \( r \) — радиус орбиты (в данном случае, радиус планеты плюс высота орбиты, но для низкой орбиты можно принять \( r \) как радиус планеты),
- \( G \) — гравитационная постоянная,
- \( M \) — масса планеты.
Сначала найдем массу планеты \( M \) по формуле:
\[ M = \rho \cdot V, \]
где:
- \( \rho \) — плотность планеты,
- \( V \) — объем планеты, который можно рассчитать по формуле объема сферы:
\[ V = \frac{4}{3}\pi r^3. \]
Далее, подставим значение радиуса планеты в метрах:
\( r = 7 \times 10^{6} \) м (7 тысяч км).
Плотность планеты:
\( \rho = 1394 \) кг/м³.
Теперь можно найти объем планеты:
\[ V = \frac{4}{3}\pi (7 \times 10^6)^3. \]
Вычислим:
- Сначала найдем \( (7 \times 10^6)^3 \):
\[ (7 \times 10^6)^3 = 343 \times 10^{18} = 3,43 \times 10^{20} \text{ м}^3. \]
- Затем объем:
\[ V = \frac{4}{3}\pi (3,43 \times 10^{20}) \approx 4,56 \times 10^{20} \text{ м}^3. \]
- Теперь найдем массу планеты:
\[ M = 1394 \times (4,56 \times 10^{20}) \approx 6,36 \times 10^{23} \text{ кг}. \]
Теперь подставим значения \( G \), \( r \) и \( M \) в формулу для периода:
\[ T = 2\pi \sqrt{\frac{(7 \times 10^6)^3}{6,7 \times 10^{-11} \times 6,36 \times 10^{23}}}. \]
Вычислим:
- Сначала определим \( GM \):
\[ GM = 6,7 \times 10^{-11} \times 6,36 \times 10^{23} \approx 4,26 \times 10^{13}. \]
- Теперь подставим это значение в формулу для \( T \):
\[ T = 2\pi \sqrt{\frac{3,43 \times 10^{20}}{4,26 \times 10^{13}}} = 2\pi \sqrt{8,06 \times 10^6}. \]
- Найдем квадратный корень:
\[ \sqrt{8,06 \times 10^6} \approx 2847 \text{ с}. \]
- Теперь подставим это в формулу:
\[ T \approx 2\pi \times 2847 \approx 17994 \text{ с}. \]
Чтобы выразить это в более удобных единицах, переведем это значение в минуты:
\[ T \approx \frac{17994}{60} \approx 299,9 \text{ мин}. \]
Таким образом, период обращения спутника, округленный до сотых, составляет примерно \( 299,90 \) минуты.
