Решите уравнение методом замены переменной (x² + 1 / x²) + 7 (x - 1 / X) + 10 = 0
Для решения уравнения методом замены переменной, начнем с того, что у нас есть:
\[ \left(x^2 + \frac{1}{x^2}\right) + 7\left(x - \frac{1}{x}\right) + 10 = 0 \]
Для упрощения уравнения сделаем замену переменной. Обозначим:
\[ y = x - \frac{1}{x} \]
Тогда, чтобы выразить \(x^2 + \frac{1}{x^2}\) через \(y\), воспользуемся соотношением:
\[ x^2 + \frac{1}{x^2} = \left(x - \frac{1}{x}\right)^2 + 2 = y^2 + 2 \]
Теперь подставим \(y\) в исходное уравнение:
\[ y^2 + 2 + 7y + 10 = 0 \]
Соберем все слагаемые:
\[ y^2 + 7y + 12 = 0 \]
Теперь решим это квадратное уравнение с использованием дискриминанта:
\[ D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 49 - 48 = 1 \]
Так как дискриминант положителен, есть два различных корня:
\[ y_1 = \frac{{-b + \sqrt{D}}}{2a} = \frac{{-7 + 1}}{2} = \frac{-6}{2} = -3 \]
\[ y_2 = \frac{{-b - \sqrt{D}}}{2a} = \frac{{-7 - 1}}{2} = \frac{-8}{2} = -4 \]
Теперь вернемся к переменной \(x\) через уравнение \(y = x - \frac{1}{x}\).
Для \(y_1 = -3\):
\[ x - \frac{1}{x} = -3 \]
Умножим обе стороны на \(x\):
\[ x^2 + 3x - 1 = 0 \]
Теперь снова находим дискриминант:
\[ D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 9 + 4 = 13 \]
Находим корни:
\[ x_1 = \frac{{-3 + \sqrt{13}}}{2} \] \[ x_2 = \frac{{-3 - \sqrt{13}}}{2} \]
Теперь для \(y_2 = -4\):
\[ x - \frac{1}{x} = -4 \]
Умножим на \(x\):
\[ x^2 + 4x - 1 = 0 \]
Снова находим дискриминант:
\[ D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 16 + 4 = 20 \]
Находим корни:
\[ x_3 = \frac{{-4 + \sqrt{20}}}{2} = \frac{{-4 + 2\sqrt{5}}}{2} = -2 + \sqrt{5} \] \[ x_4 = \frac{{-4 - \sqrt{20}}}{2} = \frac{{-4 - 2\sqrt{5}}}{2} = -2 - \sqrt{5} \]
Таким образом, мы получили четыре корня для уравнения:
- \(x_1 = \frac{{-3 + \sqrt{13}}}{2}\)
- \(x_2 = \frac{{-3 - \sqrt{13}}}{2}\)
- \(x_3 = -2 + \sqrt{5}\)
- \(x_4 = -2 - \sqrt{5}\)
Это полные решения данного уравнения! Если у вас есть дополнительные вопросы или нужно больше информации, не стесняйтесь спрашивать!
