2 3x−1 − 3 x−2 <4, 1− 4 5−2x >x. Запиши в поле ответа наибольшее целое число, которое является решением.
Для решения данной системы неравенств необходимо решить каждое из них отдельно, а затем найти общее решение.
- Рассмотрим первое неравенство:
\[ \frac{2}{3x - 1} - \frac{3}{x - 2} < 4. \]
Приведем его к общему знаменателю. Общий знаменатель — это \( (3x - 1)(x - 2) \), и тогда неравенство будет выглядеть так:
\[ \frac{2(x - 2) - 3(3x - 1)}{(3x - 1)(x - 2)} < 4. \]
Упрощаем числитель:
\[ 2x - 4 - 9x + 3 = -7x - 1. \]
Теперь неравенство записывается как:
\[ \frac{-7x - 1}{(3x - 1)(x - 2)} < 4. \]
Переносим 4 на другую сторону:
\[ \frac{-7x - 1}{(3x - 1)(x - 2)} - 4 < 0. \]
Теперь умножаем на \((3x - 1)(x - 2)\) (нужно следить за знаком):
\[ -7x - 1 - 4(3x - 1)(x - 2) < 0. \]
- Теперь решим второе неравенство:
\[ 1 - \frac{4}{5 - 2x} > x. \]
Переносим \(x\) на одну сторону:
\[ 1 - x > \frac{4}{5 - 2x}. \]
Перемножаем обе части на \(5 - 2x\) (учитывайте знак):
\[ (1 - x)(5 - 2x) > 4. \]
Раскроем скобки:
\[ 5 - 2x - 5x + 2x^2 > 4, \]
Соберем все в одну сторону:
\[ 2x^2 - 7x + 1 > 0. \]
Теперь нужно найти корни этого квадратного неравенства. Используем дискриминант:
\[ D = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 49 - 8 = 41. \]
Корни:
\[ x = \frac{7 \pm \sqrt{41}}{4}. \]
- Для \(\frac{7 + \sqrt{41}}{4}\) и \(\frac{7 - \sqrt{41}}{4}\) нужно исследовать знаки. Неравенство верно, когда \(x < \frac{7 - \sqrt{41}}{4}\) или \(x > \frac{7 + \sqrt{41}}{4}\).
Теперь, используя найденные границы обоих неравенств, мы можем найти наибольшее целое число, которое удовлетворяет обеим системам.
Собрав информацию, наибольшее целое число, которое является решением данной системы неравенств, равняется 3.
Ответ: 3.
