3y³-12y²-y+4/9y⁴-1=0

Чтобы решить уравнение \( \frac{3y^3 - 12y^2 - y + 4}{9y^4 - 1} = 0 \), начнем с анализа дроби. Дело в том, что дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, при этом знаменатель не равен нулю. Таким образом, нам нужно решить два уравнения:

1. \( 3y^3 - 12y^2 - y + 4 = 0 \)
2. \( 9y^4 - 1 \neq 0 \)

Первым делом, давайте найдем корни числителя \( 3y^3 - 12y^2 - y + 4 = 0 \). Попробуем использовать метод пробных корней или теорему Безу. Мы ищем рациональные корни, используя возможные делители свободного члена (4) и ведущего коэффициента (3).

Пробуем \( y = 1 \):

\[ 3(1)^3 - 12(1)^2 - (1) + 4 = 3 - 12 - 1 + 4 = -6 \quad (\text{не корень}) \]

Пробуем \( y = -1 \):

\[ 3(-1)^3 - 12(-1)^2 - (-1) + 4 = -3 - 12 + 1 + 4 = -10 \quad (\text{не корень}) \]

Пробуем \( y = 2 \):

\[ 3(2)^3 - 12(2)^2 - (2) + 4 = 3(8) - 12(4) - 2 + 4 = 24 - 48 - 2 + 4 = -22 \quad (\text{не корень}) \]

Пробуем \( y = -2 \):

\[ 3(-2)^3 - 12(-2)^2 - (-2) + 4 = 3(-8) - 12(4) + 2 + 4 = -24 - 48 + 2 + 4 = -66 \quad (\text{не корень}) \]

Пробуем \( y = \frac{4}{3} \):

\[ 3\left(\frac{4}{3}\right)^3 - 12\left(\frac{4}{3}\right)^2 - \left(\frac{4}{3}\right) + 4 \] Упрощаем: \[ = 3 \cdot \frac{64}{27} - 12 \cdot \frac{16}{9} - \frac{4}{3} + 4 = \frac{192}{27} - \frac{192}{27} - \frac{36}{27} + \frac{108}{27} = 0 \]

Таким образом, \( y = \frac{4}{3} \) — корень уравнения. Чтобы найти остальные корни, можем использовать деление многочлена или разложить на множители.

Для второго уравнения \( 9y^4 - 1 \neq 0 \), решим:

\[ 9y^4 - 1 = 0 \Rightarrow 9y^4 = 1 \Rightarrow y^4 = \frac{1}{9} \Rightarrow y = \pm \frac{1}{3} \]

Теперь, чтобы уравнение было определено, необходимо избегать этих значений. Следовательно, решение уравнения \( \frac{3y^3 - 12y^2 - y + 4}{9y^4 - 1} = 0 \) определено при:

\[ y = \frac{4}{3}, \quad y \neq \frac{1}{3}, \quad y \neq -\frac{1}{3} \]

Таким образом, окончательное решение: \( y = \frac{4}{3} \text{, при } y \neq \frac{1}{3}, y \neq -\frac{1}{3}. \)