Сколько имеется семизначных натуральных чисел, в кото- рых все цифры, стоящие на нечётных местах, различны?
Чтобы найти количество семизначных натуральных чисел, где все цифры, стоящие на нечётных местах, различны, давайте разберёмся с условиями более детально.
В семизначном числе у нас есть 7 позиций: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Необходимо, чтобы цифры на позициях 1, 3, 5, и 7 были различными, это значит, что у нас 4 позиции для заполнения. На четных позициях (2, 4, 6) могут находиться любые цифры, и они могут повторяться.
- Определение возможных значений для нечётных позиций:
- Первая позиция (1): может занимать любую из 1-9 (всего 9 вариантов, ноль не подходит, так как это натуральное число).
- Вторая позиция (нечётная, 3): любая цифра от 0 до 9, кроме той, что выбрана на первой позиции, итого 9 вариантов.
- Третья позиция (5): выбираем из оставшихся (0-9, но исключая уже использованные), у нас будет 8 оставшихся вариантов.
- Четвертая позиция (7): у нас останется 7 цифр.
Теперь перемножим количество вариантов для нечётных позиций.
- Для первой позиции: 9 вариантов.
- Для третьей позиции: 9 вариантов (0-9, кроме первой использованной).
- Для пятой позиции: 8 оставшихся вариантов.
- Для седьмой позиции: 7 оставшихся вариантов.
В итоге имеем: \[ 9 \times 9 \times 8 \times 7 = 4536 \] Теперь нужно учесть, что на четных позициях (второй, четвертой и шестой) могут быть любые цифры от 0 до 9, и они могут повторяться. Поскольку у нас 3 четные позиции, каждый из которых может принимать 10 различных значений, то количество выборов для четных позиций равно \(10^3\).
Итак, общее количество семизначных чисел будет: \[ 4536 \times 10^3 = 4536000 \]
Таким образом, имеется 4536000 семизначных натуральных чисел, в которых все цифры на нечётных позициях различны.
