Найти косинус угла между векторами 𝑎 = 𝑚 − 2𝑛 и 𝑏 = −𝑚 + 𝑛 при |𝑚| = 2, |𝑛| = 1, (𝑚[, 𝑛) = 𝜋/ 3 .
Чтобы найти косинус угла между векторами \( \mathbf{a} = \mathbf{m} - 2\mathbf{n} \) и \( \mathbf{b} = -\mathbf{m} + \mathbf{n} \), используем формулу косинуса угла между двумя векторами:
\[ \cos(\theta) = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{a}| |\mathbf{b}|} \]
где \( \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} \) — скалярное произведение векторов, а \( |\mathbf{a}| \) и \( |\mathbf{b}| \) — их длины.
Сначала найдем скалярное произведение \( \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} \):
\[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = (\mathbf{m} - 2\mathbf{n}) \cdot (-\mathbf{m} + \mathbf{n}) \]
Раскроем скобки:
\[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \mathbf{m} \cdot (-\mathbf{m}) + \mathbf{m} \cdot \mathbf{n} - 2\mathbf{n} \cdot (-\mathbf{m}) - 2\mathbf{n} \cdot \mathbf{n} \]
Теперь упростим каждое слагаемое:
- \( \mathbf{m} \cdot (-\mathbf{m}) = -|\mathbf{m}|^2 = -4 \) (так как \( |\mathbf{m}| = 2 \)).
- \( \mathbf{m} \cdot \mathbf{n} = |\mathbf{m}| |\mathbf{n}| \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = 2 \cdot 1 \cdot \frac{1}{2} = 1 \).
- \( -2\mathbf{n} \cdot (-\mathbf{m}) = 2\mathbf{n} \cdot \mathbf{m} = 2 \cdot 1 \cdot \frac{1}{2} = 1 \) (по аналогии с предыдущим).
- \( -2\mathbf{n} \cdot \mathbf{n} = -2 \cdot 1 = -2 \).
Теперь подставим значения в выражение для \( \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} \):
\[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = -4 + 1 + 1 - 2 = -4 \]
Теперь найдем длины векторов \( |\mathbf{a}| \) и \( |\mathbf{b}| \).
Для вектора \( \mathbf{a} = \mathbf{m} - 2\mathbf{n} \):
\[ |\mathbf{a}| = \sqrt{|\mathbf{m}|^2 + |2\mathbf{n}|^2 - 2(\mathbf{m} \cdot 2\mathbf{n})} \] \[ |\mathbf{a}| = \sqrt{4 + 4 - 4} = \sqrt{4} = 2 \]
Для вектора \( \mathbf{b} = -\mathbf{m} + \mathbf{n} \):
\[ |\mathbf{b}| = \sqrt{|\mathbf{m}|^2 + |\mathbf{n}|^2 - 2(-\mathbf{m} \cdot \mathbf{n})} \] \[ |\mathbf{b}| = \sqrt{4 + 1 + 2} = \sqrt{7} \]
Теперь подставим все найденные значения в формулу для косинуса угла:
\[ \cos(\theta) = \frac{-4}{2 \cdot \sqrt{7}} = \frac{-2}{\sqrt{7}} \]
Таким образом, мы нашли косинус угла между векторами \( \mathbf{a} \) и \( \mathbf{b} \):
\[ \cos(\theta) = \frac{-2}{\sqrt{7}} \]
