Решить неравенства: -3-х>4х+7 5(8+х)≤10 (х-4)(х-6)>0 х в квадрате +64>0 х ВА квадрате≤-11х-24
Давайте вместе решим каждое из представленных неравенств шаг за шагом.
Неравенство: \(-3 - x > 4x + 7\)
Переносим все члены с \(x\) в одну сторону и числа в другую:
\[ -3 - 7 > 4x + x \] \[ -10 > 5x \] Теперь делим обе стороны на 5 (не изменяя знак неравенства, так как делим на положительное число):
\[ -2 > x \]
Или, что эквивалентно, можно записать как:
\[ x < -2 \]
Неравенство: \(5(8 + x) \leq 10\)
Раскроем скобки:
\[ 40 + 5x \leq 10 \]
Переносим 40 на другую сторону:
\[ 5x \leq 10 - 40 \] \[ 5x \leq -30 \]
Делим обе стороны на 5:
\[ x \leq -6 \]
Неравенство: \((x - 4)(x - 6) > 0\)
Для решения этого неравенства определим нули: \(x = 4\) и \(x = 6\). Теперь рассмотрим интервалы:
- Для \(x < 4\): оба выражения отрицательны, результат положителен, значит \(x < 4\) подходит.
- Для \(4 < x < 6\): \(x - 4 > 0\), \(x - 6 < 0\) – результат отрицательный.
- Для \(x > 6\): оба выражения положительны, результат положителен.
Итак, решения:
\[ x < 4 \quad \text{или} \quad x > 6 \]
Неравенство: \(x^2 + 64 > 0\)
Заметим, что \(x^2\) всегда неотрицательно, и добавление 64 делает его всегда положительным:
\(x^2 + 64 > 0\) всегда выполняется для всех \(x\), так что решение:
\[ x \in \mathbb{R} \quad (\text{все реальные числа}) \]
Неравенство: \(x^2 \leq -11x - 24\)
Переносим все на одну сторону:
\[ x^2 + 11x + 24 \leq 0 \]
Теперь найдем корни квадратного уравнения \(x^2 + 11x + 24 = 0\) с помощью дискриминанта:
\[ D = b^2 - 4ac = 11^2 - 4 \cdot 1 \cdot 24 = 121 - 96 = 25 \]
Корни:
\[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-11 \pm 5}{2} \]
Находим корни:
\[ x_1 = \frac{-6}{2} = -3,\quad x_2 = \frac{-16}{2} = -8 \]
Теперь исследуем знак выражения \(x^2 + 11x + 24\):
- При \(x < -8\): положительно.
- При \(-8 < x < -3\): отрицательно или ноль.
- При \(x > -3\): положительно.
Таким образом, решение:
\[ -8 \leq x \leq -3 \]
Это все решения предложенных неравенств. Если есть ещё вопросы, не стесняйтесь задавать!
