Груз массой 0,09 кг, подвешенный на лёгкой пружине, совершает вертикальные свободные гармонические колебания. Груз какой массы нужно подвесить к пружине вместо первого груза, чтобы период свободных колебаний увеличился в 2 раза
Для решения этой задачи воспользуемся формулой для периода колебаний пружинного осциллятора:
\[ T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}} \]
где:
- \( T \) — период колебаний,
- \( m \) — масса груза,
- \( k \) — жесткость пружины.
Согласно условию задачи, мы хотим, чтобы период увеличился в 2 раза. Обозначим новый период как \( T' \):
\[ T' = 2T \]
Подставляя это в формулу, получим:
\[ 2T = 2\pi \sqrt{\frac{m'}{k}} \]
где \( m' \) — новая масса груза. Поделим обе стороны уравнения на \( 2\pi \):
\[ T = \sqrt{\frac{m'}{k}} \]
Теперь у нас получится два равенства для периодов:
- Для первого груза:
\[ T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}} \]
- Для нового груза:
\[ 2T = 2\pi \sqrt{\frac{m'}{k}} \]
Теперь подставим выражение для \( T \):
\[ 2(2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}) = 2\pi \sqrt{\frac{m'}{k}} \]
Сократим \( 2\pi \):
\[ 2\sqrt{\frac{m}{k}} = \sqrt{\frac{m'}{k}} \]
Теперь возведем обе стороны в квадрат:
\[ 4\frac{m}{k} = \frac{m'}{k} \]
Сократив \( k \):
\[ 4m = m' \]
Теперь подставим значение массы \( m = 0,09 \) кг:
\[ m' = 4 \cdot 0,09 = 0,36 \text{ кг} \]
Таким образом, чтобы период свободных колебаний увеличился в 2 раза, нужно подвесить груз массой 0,36 кг.
