Груз, подвешенный на лёгкой пружине жёсткостью 400 Н/м, совершает свободные вертикальные гармонические колебания. Пружину какой жёсткости надо взять вместо первой пружины, чтобы период свободных колебаний этого груза стал в 2 раза меньше?
Для того чтобы решить задачу, давайте вспомним, как связан период колебаний пружинного маятника с жесткостью пружины. Период \( T \) свободных колебаний грузика на пружине определяется по формуле:
\[ T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}} \]
где:
- \( m \) — масса груза,
- \( k \) — жесткость пружины.
В данном случае нам известно, что жесткость первой пружины \( k_1 = 400 \, \text{Н/м} \). Нам нужно найти жесткость второй пружины \( k_2 \), при которой период колебаний станет в 2 раза меньше. То есть, новый период \( T_2 \) будет равен:
\[ T_2 = \frac{T_1}{2} \]
Подставляем это в исходную формулу:
\[ \frac{T_1}{2} = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k_2}} \]
Также мы знаем, что:
\[ T_1 = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k_1}} \]
Теперь, подставив выражение для \( T_1 \) в первое уравнение, получаем:
\[ \frac{1}{2} \cdot 2\pi \sqrt{\frac{m}{k_1}} = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k_2}} \]
Упрощая уравнение, делим обе стороны на \( 2\pi \):
\[ \frac{1}{2} \sqrt{\frac{m}{k_1}} = \sqrt{\frac{m}{k_2}} \]
Теперь избавимся от корней. Для этого возведем обе стороны в квадрат:
\[ \frac{1}{4} \cdot \frac{m}{k_1} = \frac{m}{k_2} \]
Сокращаем массу \( m \):
\[ \frac{1}{4 k_1} = \frac{1}{k_2} \]
Теперь выразим \( k_2 \):
\[ k_2 = 4 k_1 \]
Подставляем известное значение \( k_1 = 400 \, \text{Н/м} \):
\[ k_2 = 4 \cdot 400 \, \text{Н/м} = 1600 \, \text{Н/м} \]
Таким образом, для того чтобы период свободных колебаний груза стал в 2 раза меньше, нужно использовать пружину жесткостью \( 1600 \, \text{Н/м} \).
