Груз, подвешенный на лёгкой пружине жёсткостью 400 Н/м, совершает свободные вертикальные гармонические колебания. Пружину какой жёсткости надо взять вместо первой пружины, чтобы период свободных колебаний этого груза стал в 2 раза меньше?
Для решения этой задачи нам нужно вспомнить формулу для периода свободных колебаний груза на пружине. Период колебаний \( T \) определяет следующим образом:
\[ T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}} \]
где:
- \( T \) — период колебаний,
- \( m \) — масса груза,
- \( k \) — жёсткость пружины.
Если мы хотим, чтобы период был в 2 раза меньше, мы можем записать новое значение периода как:
\[ T' = \frac{T}{2} = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k'}} \]
где \( k' \) — новая жёсткость пружины.
Сравнив два выражения для периодов, мы можем использовать соотношение, чтобы вывести новое значение жёсткости. Подставляя \( T \) и \( T' \) в уравнение, получаем:
\[ \frac{T}{2} = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k'}} \]
Теперь подставим \( T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}} \):
\[ \frac{1}{2} \cdot 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}} = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k'}} \]
Упрощаем уравнение:
\[ \frac{1}{2} \sqrt{\frac{m}{k}} = \sqrt{\frac{m}{k'}} \]
Теперь, возведя обе стороны в квадрат, получим:
\[ \frac{1}{4} \frac{m}{k} = \frac{m}{k'} \]
Упрощаем уравнение, сократив массу \( m \):
\[ \frac{1}{4k} = \frac{1}{k'} \]
Теперь переместим \( k' \) на одну сторону:
\[ k' = 4k \]
Поскольку исходная жёсткость \( k = 400 \, \text{Н/м} \):
\[ k' = 4 \cdot 400 = 1600 \, \text{Н/м} \]
Таким образом, чтобы период свободных колебаний груза стал в 2 раза меньше, необходимо выбрать пружину жёсткостью 1600 Н/м.
