Для нахождения площади ромба, можно воспользоваться формулой:
[ S = \frac{1}{2} \times d_1 \times d_2, ]
где ( d_1 ) и ( d_2 ) — длины диагоналей ромба.
Так как стороны ромба равны 9, мы можем найти длины диагоналей, используя свойства ромба. Оно разделяет ромб на четыре равных треугольника, и точки пересечения диагоналей делят их пополам.
Зная, что расстояние от точки пересечения диагоналей до одной из вершин (в данном случае до одной из сторон) равно 1, мы можем определить высоты и, соответственно, длины диагоналей.
Рассмотрим один из правых треугольников, образованных половинами диагоналей и стороной ромба. Пусть ( \frac{d_1}{2} ) — одна половина первой диагонали, а ( \frac{d_2}{2} ) — одна половина второй диагонали. На основании теоремы Пифагора в этом треугольнике можем записать:
[
\left( \frac{d_1}{2} \right)^2 + \left( \frac{d_2}{2} \right)^2 = 9^2.
]
Так как расстояние от точки пересечения диагоналей до стороны равно 1, это расстояние также можно считать высотой, когда ромб разложен на треугольники. Таким образом мы можем написать:
[
\frac{d_2}{2} = 1.
]
Отсюда длина второй диагонали:
[
d_2 = 2.
]
Теперь подставим значение ( d_2 ) в уравнение Пифагора:
[
\left( \frac{d_1}{2} \right)^2 + 1^2 = 9^2.
]
[
\left( \frac{d_1}{2} \right)^2 + 1 = 81.
]
[
\left( \frac{d_1}{2} \right)^2 = 80.
]
[
\frac{d_1}{2} = \sqrt{80} = 4\sqrt{5}.
]
Следовательно, длина первой диагонали:
[
d_1 = 8\sqrt{5}.
]
Теперь можем вычислить площадь ромба:
[
S = \frac{1}{2} \times d_1 \times d_2 = \frac{1}{2} \times 8\sqrt{5} \times 2 = 8\sqrt{5}.
]
Таким образом, площадь ромба равна ( 8\sqrt{5} ) квадратных единиц.
