2. Даны вектор а {0;4;-7} и вектор b {7;-9;11}. Найти длину векторов 5а-2b и -а+6b

Для нахождения длины векторов \(5\mathbf{a} - 2\mathbf{b}\) и \(-\mathbf{a} + 6\mathbf{b}\), сначала вычислим новые векторы, а затем найдем их длину.

Даны векторы: \[ \mathbf{a} = \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ -7 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{b} = \begin{pmatrix} 7 \\ -9 \\ 11 \end{pmatrix} \]

1. Вычислим вектор \(5\mathbf{a} - 2\mathbf{b}\):

\[ 5\mathbf{a} = 5 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ -7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 20 \\ -35 \end{pmatrix} \] \[ 2\mathbf{b} = 2 \cdot \begin{pmatrix} 7 \\ -9 \\ 11 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 14 \\ -18 \\ 22 \end{pmatrix} \] Теперь вычтем: \[ 5\mathbf{a} - 2\mathbf{b} = \begin{pmatrix} 0 \\ 20 \\ -35 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 14 \\ -18 \\ 22 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 - 14 \\ 20 - (-18) \\ -35 - 22 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -14 \\ 38 \\ -57 \end{pmatrix} \]

2. Вычислим вектор \(-\mathbf{a} + 6\mathbf{b}\):

\[ -\mathbf{a} = -\begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ -7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ -4 \\ 7 \end{pmatrix} \] \[ 6\mathbf{b} = 6 \cdot \begin{pmatrix} 7 \\ -9 \\ 11 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 42 \\ -54 \\ 66 \end{pmatrix} \] Теперь сложим: \[ -\mathbf{a} + 6\mathbf{b} = \begin{pmatrix} 0 \\ -4 \\ 7 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 42 \\ -54 \\ 66 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 + 42 \\ -4 + (-54) \\ 7 + 66 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 42 \\ -58 \\ 73 \end{pmatrix} \]

3. Теперь найдем длину векторов.

Длина вектора \(\mathbf{v} = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}\) вычисляется по формуле: \[ \|\mathbf{v}\| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} \]

Длина вектора \(5\mathbf{a} - 2\mathbf{b}\): \[ \|5\mathbf{a} - 2\mathbf{b}\| = \sqrt{(-14)^2 + 38^2 + (-57)^2} = \sqrt{196 + 1444 + 3249} = \sqrt{4889} \approx 69.94 \]

Длина вектора \(-\mathbf{a} + 6\mathbf{b}\): \[ \|-\mathbf{a} + 6\mathbf{b}\| = \sqrt{42^2 + (-58)^2 + 73^2} = \sqrt{1764 + 3364 + 5329} = \sqrt{10457} \approx 102.27 \]

Таким образом, длины векторов:

• Длина вектора \(5\mathbf{a} - 2\mathbf{b} \approx 69.94\)
• Длина вектора \(-\mathbf{a} + 6\mathbf{b} \approx 102.27\)