Разложение на Бином Ньютона (х+5)7
Разложение выражения \((x + 5)^7\) можно выполнить с помощью формулы бинома Ньютона. Она гласит, что:
\[ (a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} C(n, k) \cdot a^{n-k} \cdot b^k \]
где \(C(n, k)\) – это биномиальный коэффициент, равный \(\frac{n!}{k!(n-k)!}\), \(a\) и \(b\) – это слагаемые, а \(n\) – степень.
В нашем случае \(a = x\), \(b = 5\) и \(n = 7\). Теперь подставим наши значения в формулу:
\[ (x + 5)^7 = \sum_{k=0}^{7} C(7, k) \cdot x^{7-k} \cdot 5^k \]
Теперь вычислим биномиальные коэффициенты и сами члены разложения:
Для \(k = 0\): \[ C(7, 0) \cdot x^{7-0} \cdot 5^0 = 1 \cdot x^7 \cdot 1 = x^7 \]
Для \(k = 1\): \[ C(7, 1) \cdot x^{7-1} \cdot 5^1 = 7 \cdot x^6 \cdot 5 = 35x^6 \]
Для \(k = 2\): \[ C(7, 2) \cdot x^{7-2} \cdot 5^2 = 21 \cdot x^5 \cdot 25 = 525x^5 \]
Для \(k = 3\): \[ C(7, 3) \cdot x^{7-3} \cdot 5^3 = 35 \cdot x^4 \cdot 125 = 4375x^4 \]
Для \(k = 4\): \[ C(7, 4) \cdot x^{7-4} \cdot 5^4 = 35 \cdot x^3 \cdot 625 = 21875x^3 \]
Для \(k = 5\): \[ C(7, 5) \cdot x^{7-5} \cdot 5^5 = 21 \cdot x^2 \cdot 3125 = 65625x^2 \]
Для \(k = 6\): \[ C(7, 6) \cdot x^{7-6} \cdot 5^6 = 7 \cdot x^1 \cdot 15625 = 109375x \]
Для \(k = 7\): \[ C(7, 7) \cdot x^{7-7} \cdot 5^7 = 1 \cdot 1 \cdot 78125 = 78125 \]
Теперь соберем все члены вместе:
\[ (x + 5)^7 = x^7 + 35x^6 + 525x^5 + 4375x^4 + 21875x^3 + 65625x^2 + 109375x + 78125 \]
Это полное разложение на бином Ньютона для выражения \((x + 5)^7\). Если у вас есть дополнительные вопросы или нужна помощь с другими темами, не стесняйтесь спрашивать!
