(x-1)⁸
Чтобы разложить выражение \((x-1)^8\), мы можем использовать формулу бинома Ньютона, которая гласит, что:
\[ (a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} C(n, k) a^{n-k} b^k \]
где \(C(n, k)\) — это биномиальный коэффициент, равный \(\frac{n!}{k!(n-k)!}\).
В нашем случае \(a = x\), \(b = -1\) и \(n = 8\). Поэтому мы можем разложить \((x-1)^8\) следующим образом:
\[ (x-1)^8 = \sum_{k=0}^{8} C(8, k) x^{8-k} (-1)^k \]
Теперь давайте посчитаем несколько членов этого разложения:
- Для \(k=0\): \(C(8,0) x^{8} (-1)^0 = 1 \cdot x^8 = x^8\)
- Для \(k=1\): \(C(8,1) x^{7} (-1)^1 = 8 \cdot x^7 \cdot (-1) = -8x^7\)
- Для \(k=2\): \(C(8,2) x^{6} (-1)^2 = 28 \cdot x^6\)
- Для \(k=3\): \(C(8,3) x^{5} (-1)^3 = -56 \cdot x^5\)
- Для \(k=4\): \(C(8,4) x^{4} (-1)^4 = 70 \cdot x^4\)
- Для \(k=5\): \(C(8,5) x^{3} (-1)^5 = -56 \cdot x^3\)
- Для \(k=6\): \(C(8,6) x^{2} (-1)^6 = 28 \cdot x^2\)
- Для \(k=7\): \(C(8,7) x^{1} (-1)^7 = -8 \cdot x\)
- Для \(k=8\): \(C(8,8) x^{0} (-1)^8 = 1\)
Теперь складываем все эти члены:
\[ (x-1)^8 = x^8 - 8x^7 + 28x^6 - 56x^5 + 70x^4 - 56x^3 + 28x^2 - 8x + 1 \]
Таким образом, разложение \((x-1)^8\) по степеням выглядит следующим образом:
\[ (x-1)^8 = x^8 - 8x^7 + 28x^6 - 56x^5 + 70x^4 - 56x^3 + 28x^2 - 8x + 1 \]
Если у вас есть дополнительные вопросы по этой теме, не стесняйтесь задавать!
