Постройте график функции у=1/3х^2-4х+4 и опишите её свойства
Для построения графика функции \( y = \frac{1}{3}x^2 - 4x + 4 \) сначала определим её основные свойства.
Форма функции: Функция имеет вид квадратичной, поскольку является параболой. Коэффициент перед \( x^2 \) положительный ( \( \frac{1}{3} > 0 \)), что означает, что парабола открывается вверх.
Координаты вершин: Вершина параболы (графика функции) находится по формуле: \[ x_{в} = -\frac{b}{2a} \] где \( a = \frac{1}{3} \) и \( b = -4 \). Подставим значения: \[ x_{в} = -\frac{-4}{2 \cdot \frac{1}{3}} = \frac{4}{\frac{2}{3}} = 4 \cdot \frac{3}{2} = 6 \] Теперь подставим \( x_{в} \) в уравнение, чтобы найти \( y_{в} \): \[ y_{в} = \frac{1}{3}(6^2) - 4(6) + 4 = \frac{1}{3}(36) - 24 + 4 = 12 - 24 + 4 = -8 \] Таким образом, вершина параболы находится в точке \( (6, -8) \).
Нахождение осей пересечения:
С осью Y: Подставляем \( x = 0 \): \[ y(0) = \frac{1}{3}(0)^2 - 4(0) + 4 = 4 \] График пересекает ось Y в точке \( (0, 4) \).
С осью X: Найдём корни уравнения \( \frac{1}{3}x^2 - 4x + 4 = 0 \) с помощью дискримината: \[ D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot \frac{1}{3} \cdot 4 = 16 - \frac{16}{3} = \frac{48}{3} - \frac{16}{3} = \frac{32}{3} \] Поскольку \( D > 0 \), есть два корня: \[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 \pm \sqrt{\frac{32}{3}}}{\frac{2}{3}} = 6 \pm 2\sqrt{\frac{8}{3}} \] Эти корни показывают, где график пересекает ось X.
Степень симметрии: Парабола симметрична относительно вертикальной прямой, проходящей через её вершину, то есть \( x = 6 \).
Теперь вы можете построить график этой функции. Он будет иметь минимальное значение в точке \( (6, -8) \) и будет возрастать с обеих сторон от неё. Не забудьте также отметить точки пересечения с осями, чтобы график был полным и информативным.
