Во время просмотра ленты соцсети Алиса нашла видео, как из квадратного зеркала сделать восьмиугольное зеркало и затем украсить его. У неё на стене как раз висит квадратное зеркало со стороной 80 см. Она хочет попросить папу вырезать ей восьмиугольное зеркало, у которого все стороны равны и все углы равны, но перед этим нужно произвести расчёты. Для этого Алиса нарисовала чертёж и наметила линии, по которым нужно будет отрезать от квадрата четыре одинаковых прямоугольных треугольника. Определи примерную длину катета одного такого треугольника. Прими корень 2 равным 1,41. Вырази ответ в мм.
Чтобы найти длину катета одного из прямоугольных треугольников, которые нужно вырезать для получения восьмиугольного зеркала из квадратного, начнём с того, что восьмиугольник можно inscribe в квадрат.
Для этого сначала нужно определить, какое расстояние от центра квадрата до одной из вершин восьмиугольника. Если сторона квадратного зеркала равна 80 см (или 800 мм), то длина диагонали квадрата будет равна:
\[ d = 80 \cdot \sqrt{2} \approx 80 \cdot 1,41 \approx 112,8 \text{ см} = 1128 \text{ мм} \]
Радиус вписанной окружности (расстояние от центра квадрата до стороны квадрата) равен:
\[ r = \frac{d}{2} = \frac{1128}{2} = 564 \text{ мм} \]
Теперь, чтобы найти длину катета одного из треугольников, мы можем рассмотреть один из прямоугольных треугольников, который определяется вершиной квадрата, центром квадрата и одной из вершин восьмиугольника.
Каждый угол восьмиугольника равен 45° (так как сумма внутренних углов восьмиугольника 1080° и всего 8 углов). Таким образом, отрезаемый угол между вертикальной линией от центра квадрата и одной из сторон восьмиугольника будет 22.5°, что соответствует 45/2. Однако, проще всего учитывать, как мы вырезаем прямоугольные треугольники по диагонали.
Каждая пара катетов прямоугольного треугольника на границе квадрата имеет длину равную тому же, что и длины сторон нового восьмиугольника; если обозначить длину стороны восьмиугольника как \( a \), по формулам получим:
\[ a = 80 \cdot (1 - \sqrt{2} / 2) \approx 80 \cdot (1 - 0,707) \approx 80 \cdot 0,293 = 23,44 \text{ см} = 234,4 \text{ мм} \]
Так как каждый катет будет равен длине стороны нового восьмиугольника, для нахождения длины катета одного прямоугольного треугольника 234,4/2 мм. Например, будем делать это так:
Длина катета:
\[ L = \frac{80 \cdot \sqrt{2}}{2(1 + \sqrt{2})} = \frac{80 \cdot 1,41}{2 (1 + 1,41)} \approx \frac{112,8}{4,82} \approx 23,4 \text{см} = 234 \text{ мм} \]
Итак, длина одного катета составляет примерно 234 мм.
