1/p-q -3pq/p³-q³
Давайте разберем данный математический пример: \( \frac{1}{p - q} - \frac{3pq}{p^3 - q^3} \).
Для начала, заметим, что знаменатель \( p^3 - q^3 \) можно разложить на множители. Формула разности кубов сообщает нам, что:
\[ p^3 - q^3 = (p - q)(p^2 + pq + q^2) \]
Теперь перепишем вторую дробь:
\[ \frac{3pq}{p^3 - q^3} = \frac{3pq}{(p - q)(p^2 + pq + q^2)} \]
Теперь у нас есть:
\[ \frac{1}{p - q} - \frac{3pq}{(p - q)(p^2 + pq + q^2)} \]
Теперь приведем дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель будет \( (p - q)(p^2 + pq + q^2) \):
Первая дробь:
\[ \frac{1 \cdot (p^2 + pq + q^2)}{(p - q)(p^2 + pq + q^2)} = \frac{p^2 + pq + q^2}{(p - q)(p^2 + pq + q^2)} \]
Теперь можем записать общее выражение:
\[ \frac{p^2 + pq + q^2 - 3pq}{(p - q)(p^2 + pq + q^2)} \]
Упростим числитель:
\[ p^2 + pq + q^2 - 3pq = p^2 - 2pq + q^2 \]
Это можно записать как:
\[ (p - q)^2 \]
Теперь мы получаем итоговое выражение:
\[ \frac{(p - q)^2}{(p - q)(p^2 + pq + q^2)} \]
Поскольку \( p - q \) в числителе и знаменателе можно сократить (при условии, что \( p \neq q \)), то итоговое выражение упростится до:
\[ \frac{p - q}{p^2 + pq + q^2} \]
Вот и всё! Мы пришли к конечному результату:
\[ \frac{p - q}{p^2 + pq + q^2} \]
Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать!
