На стороне АВ и диагонали АС квадрата ABCD отметили соответственно точки Р и Q так, что AP : PB = 3 : 2, AQ: QC = 4 : 1. Найдите больший угол треугольника PQD. Ответ запишите в градусах.

Для решения данной задачи обозначим координаты вершин квадрата ABCD, где:

• A(0, 0)
• B(5, 0) (поскольку AP:PB = 3:2, AB = 5)
• C(5, 5)
• D(0, 5)

Теперь определим координаты точек Р и Q.

1. Нахождение точки Р: По условию AP:PB = 3:2. Это означает, что отрезок AB делится в отношении 3:2. Длина отрезка AB равна 5, значит:

   \( AP = \frac{3}{3+2} \times 5 = \frac{3}{5} \times 5 = 3 \)
   \( PB = \frac{2}{5} \times 5 = 2 \)

   Таким образом, точка Р будет находиться на расстоянии 3 от точки A и 2 от точки B, то есть у нее координаты:

   P(3, 0).

2. Нахождение точки Q: По условию AQ:QC = 4:1. Длина отрезка AC равна 5 (от A до C по диагонали). Следовательно,

   \( AQ = \frac{4}{4+1} \times 5 = \frac{4}{5} \times 5 = 4 \)
   \( QC = \frac{1}{5} \times 5 = 1 \)

   Таким образом, точка Q будет находиться на расстоянии 4 от точки A и 1 от точки C, то есть у нее координаты:

   Q(4, 4).

Теперь мы имеем координаты точек P(3, 0), Q(4, 4) и D(0, 5).

3. Нахождение угла ∠PQD:

Для нахождения угла между векторами \( \overrightarrow{PQ} \) и \( \overrightarrow{QD} \) воспользуемся координатами точек:

• Вектор \( \overrightarrow{PQ} = Q - P = (4 - 3, 4 - 0) = (1, 4) \)
• Вектор \( \overrightarrow{QD} = D - Q = (0 - 4, 5 - 4) = (-4, 1) \)

Теперь найдем скалярное произведение этих векторов:

\[ \overrightarrow{PQ} \cdot \overrightarrow{QD} = 1 \cdot (-4) + 4 \cdot 1 = -4 + 4 = 0 \]

Поскольку скалярное произведение равно нулю, это говорит о том, что векторы перпендикулярны. Значит угол ∠PQD равен 90 градусов.

Ответ: 90 градусов.