Реши задачу, подробно запиши решение в тетради. После введения и проверки ответа ты сможешь сверить свои записи с предложенным способом решения. Определи, при каких значениях b прямая, заданная формулой у = b, и график -1 - функции у = - не будут иметь x -x2 общих точек. Построй график функции и эту прямую, отметь точки пересечения и запиши значения, которые может принимать параметр b. (Укажи значения в порядке возрастания.)
Чтобы решить эту задачу, давайте сначала проанализируем каждую часть. Нам нужно определить, при каких значениях параметра \( b \) прямая, заданная уравнением \( y = b \), и график функции \( y = -x - x^2 \) не пересекаются.
Нахождение точек пересечения. Для этого приравняем уравнения:
\[ b = -x - x^2 \]
Перепишем это уравнение:
\[ x^2 + x + b = 0 \]
Это квадратное уравнение, и мы можем найти его дискриминант для определения наличия корней. Дискриминант \( D \) квадратного уравнения \( ax^2 + bx + c \) вычисляется по формуле:
\[ D = b^2 - 4ac \]
В нашем случае:
- \( a = 1 \)
- \( b = 1 \)
- \( c = b \)
Таким образом, дискриминант будет равен:
\[ D = 1^2 - 4(1)(b) = 1 - 4b \]
Анализ дискриминанта. Чтобы прямая не имела общих точек с графиком функции, необходимо, чтобы дискриминант меньше нуля:
\[ D < 0 \]
Подставляем значение дискриминанта:
\[ 1 - 4b < 0 \]
Решим неравенство:
\[ 1 < 4b \]
\[ \frac{1}{4} < b \]
Или в другом виде:
\[ b > \frac{1}{4} \]
Построение графика. Теперь давайте построим график функции \( y = -x - x^2 \):
- Эта функция — парабола, открытая вниз. Чтобы построить её, найдем координаты её вершины. Вершина параболы для функции \( y = ax^2 + bx + c \) находится по формуле \( x_{\text{в}} = -\frac{b}{2a} \).
Для данного уравнения:
\[ x_{\text{в}} = -\frac{1}{2 \cdot (-1)} = \frac{1}{2} \]
Подставим это значение в уравнение, чтобы найти координаты вершины \( y \):
\[ y_{\text{в}} = -\frac{1}{2} - \left(\frac{1}{2}\right)^2 = -\frac{1}{2} - \frac{1}{4} = -\frac{3}{4} \]
Таким образом, вершина параболы находится в точке \( \left(\frac{1}{2}, -\frac{3}{4}\right) \).
Результаты и заключение. Из анализа мы определили, что прямая \( y = b \) не будет пересекаться с графиком \( y = -x - x^2 \) при \( b > \frac{1}{4} \).
Таким образом, значения, которые может принимать параметр \( b \), в порядке возрастания таковы:
\[ b > \frac{1}{4} \]
Далее можно построить график функции и прямой для визуального понимания, отметив точку соприкосновения в случае \( b = \frac{1}{4} \) и выше. Надеюсь, это поможет вам понять задачу!
