Найди координаты точек пересечения круга, заданного уравнением х² + 8x + y²-10y+16=0 з осями координат. Записывай координаты в порядке возрастания их ординат

Для нахождения точек пересечения круга с осями координат, начнём с преобразования уравнения круга в стандартный вид. Дано уравнение:

\[ x^2 + 8x + y^2 - 10y + 16 = 0. \]

Сначала упростим его, сгруппировав по \( x \) и \( y \):

1. Для \( x \) преобразуем \( x^2 + 8x \) в квадрат: \[ x^2 + 8x = (x + 4)^2 - 16. \]

2. Для \( y \) преобразуем \( y^2 - 10y \) в квадрат: \[ y^2 - 10y = (y - 5)^2 - 25. \]

Теперь подставим эти выражения обратно в уравнение:

\[ ((x + 4)^2 - 16) + ((y - 5)^2 - 25) + 16 = 0. \]

Упрощаем: \[ (x + 4)^2 + (y - 5)^2 - 25 = 0, \] что можно записать как \[ (x + 4)^2 + (y - 5)^2 = 25. \]

Это уравнение круга с центром в точке \((-4, 5)\) и радиусом \(5\).

Теперь находим точки пересечения с осями координат.

1. Пересечение с осью \(y\) (когда \(x = 0\)): \[ (0 + 4)^2 + (y - 5)^2 = 25 \implies 16 + (y - 5)^2 = 25 \implies (y - 5)^2 = 9. \] Тогда \[ y - 5 = 3 \implies y = 8, \] и \[ y - 5 = -3 \implies y = 2. \] Точки пересечения с осью \(y\): \( (0, 8) \) и \( (0, 2) \).

2. Пересечение с осью \(x\) (когда \(y = 0\)): \[ (x + 4)^2 + (0 - 5)^2 = 25 \implies (x + 4)^2 + 25 = 25 \implies (x + 4)^2 = 0. \] Таким образом, \(x + 4 = 0 \implies x = -4\). Точка пересечения с осью \(x\): \( (-4, 0) \).

Теперь запишем все точки пересечения в порядке возрастания их ординат:

1. \( (0, 2) \)
2. \( (-4, 0) \)
3. \( (0, 8) \)

Ответ: \( (-4, 0), (0, 2), (0, 8) \).