На стороне АВ и диагонали АС квадрата ABCD отметили соответственно точки Р и Q так, что AP : PB = 3 : 2, AQ: QC = 4 : 1. Найдите больший угол треугольника PQD. Ответ запишите в градусах.

Question 1

Задача Задача №1835355

А

Аноним

13 октября 2024 16:33 · публичный вопрос

А

Аноним 13 октября 2024 16:33

На стороне АВ и диагонали АС квадрата ABCD отметили соответственно точки Р и Q так, что AP : PB = 3 : 2, AQ: QC = 4 : 1. Найдите больший угол треугольника PQD. Ответ запишите в градусах.

Answer

Для начала, давайте обозначим координаты точек квадрата ABCD, где A(0, 0), B(1, 0), C(1, 1), D(0, 1). Затем можем найти координаты точек P и Q, опираясь на заданные отношения.

Находим координаты точки P на стороне AB: Длина AB равна 1. По условию, \(AP : PB = 3 : 2\). Таким образом, отрезок AB делится на 5 равных частей. Длина отрезка AP составит: \[ AP = \frac{3}{5} \cdot 1 = \frac{3}{5} \] Следовательно, координаты точки P: \[ P\left(\frac{3}{5}, 0\right) \]
Теперь находим координаты точки Q на диагонали AC: Длина отрезка AC равна \( \sqrt{(1 - 0)^2 + (1 - 0)^2} = \sqrt{2} \). По условию, \(AQ : QC = 4 : 1\). Таким образом, отрезок AC также делится на 5 равных частей. Длина отрезка AQ составит: \[ AQ = \frac{4}{5} \cdot \sqrt{2} = \frac{4\sqrt{2}}{5} \] Теперь найдем координаты точки Q. Так как A(0, 0) и C(1, 1), координаты точки Q будут рассчитаны как: \[ Q\left(\frac{4}{5}, \frac{4}{5}\right) \]
Теперь найдем угол треугольника PQD. Для этого сначала найдем векторы PQ и QD: \[ \overrightarrow{PQ} = Q - P = \left(\frac{4}{5} - \frac{3}{5}, \frac{4}{5} - 0\right) = \left(\frac{1}{5}, \frac{4}{5}\right) \] \[ \overrightarrow{QD} = D - Q = (0 - \frac{4}{5}, 1 - \frac{4}{5}) = \left(-\frac{4}{5}, \frac{1}{5}\right) \]
Теперь находим угол между векторами PQ и QD. Для нахождения угла между двумя векторами можно воспользоваться формулой: \[ \cos(\theta) = \frac{\overrightarrow{PQ} \cdot \overrightarrow{QD}}{|\overrightarrow{PQ}| |\overrightarrow{QD}|} \] Сначала найдем скалярное произведение: \[ \overrightarrow{PQ} \cdot \overrightarrow{QD} = \left(\frac{1}{5}\right)\left(-\frac{4}{5}\right) + \left(\frac{4}{5}\right)\left(\frac{1}{5}\right) = -\frac{4}{25} + \frac{4}{25} = 0 \]
Так как скалярное произведение равно нулю, векторы PQ и QD перпендикулярны друг другу. Это означает, что угол PQD равен 90 градусам.

Таким образом, больший угол треугольника PQD составляет: \[ \boxed{90} \] градусов.

Question 2

На стороне АВ и диагонали АС квадрата ABCD отметили соответственно точки Р и Q так, что AP : PB = 3 : 2, AQ: QC = 4 : 1. Найдите больший угол треугольника PQD. Ответ запишите в градусах.

Answer

Для начала, давайте обозначим координаты точек квадрата ABCD, где A(0, 0), B(1, 0), C(1, 1), D(0, 1). Затем можем найти координаты точек P и Q, опираясь на заданные отношения. 1. **Находим координаты точки P** на стороне AB: Длина AB равна 1. По условию, \(AP : PB = 3 : 2\). Таким образом, отрезок AB делится на 5 равных частей. Длина отрезка AP составит: \[ AP = \frac{3}{5} \cdot 1 = \frac{3}{5} \] Следовательно, координаты точки P: \[ P\left(\frac{3}{5}, 0\right) \] 2. **Теперь находим координаты точки Q** на диагонали AC: Длина отрезка AC равна \( \sqrt{(1 - 0)^2 + (1 - 0)^2} = \sqrt{2} \). По условию, \(AQ : QC = 4 : 1\). Таким образом, отрезок AC также делится на 5 равных частей. Длина отрезка AQ составит: \[ AQ = \frac{4}{5} \cdot \sqrt{2} = \frac{4\sqrt{2}}{5} \] Теперь найдем координаты точки Q. Так как A(0, 0) и C(1, 1), координаты точки Q будут рассчитаны как: \[ Q\left(\frac{4}{5}, \frac{4}{5}\right) \] 3. **Теперь найдем угол треугольника PQD**. Для этого сначала найдем векторы PQ и QD: \[ \overrightarrow{PQ} = Q - P = \left(\frac{4}{5} - \frac{3}{5}, \frac{4}{5} - 0\right) = \left(\frac{1}{5}, \frac{4}{5}\right) \] \[ \overrightarrow{QD} = D - Q = (0 - \frac{4}{5}, 1 - \frac{4}{5}) = \left(-\frac{4}{5}, \frac{1}{5}\right) \] 4. **Теперь находим угол между векторами PQ и QD**. Для нахождения угла между двумя векторами можно воспользоваться формулой: \[ \cos(\theta) = \frac{\overrightarrow{PQ} \cdot \overrightarrow{QD}}{|\overrightarrow{PQ}| |\overrightarrow{QD}|} \] Сначала найдем скалярное произведение: \[ \overrightarrow{PQ} \cdot \overrightarrow{QD} = \left(\frac{1}{5}\right)\left(-\frac{4}{5}\right) + \left(\frac{4}{5}\right)\left(\frac{1}{5}\right) = -\frac{4}{25} + \frac{4}{25} = 0 \] 5. **Так как скалярное произведение равно нулю**, векторы PQ и QD перпендикулярны друг другу. Это означает, что угол PQD равен 90 градусам. Таким образом, больший угол треугольника PQD составляет: \[ \boxed{90} \] градусов.