В правильной четырехугольной пирамиде боковое ребро образует с плоскостью основания угол 60°. Высота пирамиды равна 3 см. Найти площадь поверхности пирамиды

Чтобы найти площадь поверхности правильной четырехугольной пирамиды, нам нужно рассмотреть несколько элементов: площадь основания и площадь боковых граней.

1. Площадь основания: В правильной четырехугольной пирамиде основание является квадратом. Обозначим сторону квадрата как \( a \). Площадь основания \( S_{осн} \) равна: \[ S_{осн} = a^2 \]

2. Высота и боковое ребро: У нас есть высота пирамиды \( h = 3 \) см, и угол между боковым ребром и плоскостью основания равен \( 60^\circ \). Обозначим боковое ребро как \( l \). С учетом этого угла, можем воспользоваться тригонометрией.

   Из треугольника, образованного высотой пирамиды, половиной стороны основания и боковым ребром, применим синус: \[ \sin(60^\circ) = \frac{h}{l} \implies l = \frac{h}{\sin(60^\circ)} = \frac{3}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3} \text{ см} \]

3. Найдем сторону квадрата \( a \). В правом треугольнике высота и половина стороны основания связаны следующим образом: \[ \tan(60^\circ) = \frac{h}{\frac{a}{2}} \implies \sqrt{3} = \frac{3}{\frac{a}{2}} \implies a = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3} \text{ см} \]

4. Площадь боковых граней: Поскольку у нас четыре треугольные боковые грани, площадь одной боковой грани \( S_{бок} \) будет равна: \[ S_{бок} = \frac{1}{2} \times a \times l = \frac{1}{2} \times 2\sqrt{3} \times 2\sqrt{3} = \frac{1}{2} \times 2 \times 2 \times 3 = 6 \text{ см}^2 \] Тогда вся площадь боковых граней: \[ S_{бок.всего} = 4 \times S_{бок} = 4 \times 6 = 24 \text{ см}^2 \]

5. Суммарная площадь поверхности пирамиды: Сложим площадь основания и боковых граней: \[ S_{поверх} = S_{осн} + S_{бок.всего} = 12 + 24 = 36 \text{ см}^2 \]

Таким образом, площадь поверхности правильной четырехугольной пирамиды составляет 36 см².