Решите систему неравенств x^2-7x+12>0 x^2-4x-5<0

Question 1

Задача Задача №1835757

А

Аноним

13 октября 2024 16:59 · публичный вопрос

А

Аноним 13 октября 2024 16:59

Решите систему неравенств x^2-7x+12>0 x^2-4x-5<0

Answer

Давайте решим систему неравенств, состоящую из двух частей:

\( x^2 - 7x + 12 > 0 \)
\( x^2 - 4x - 5 < 0 \)

Начнем с первого неравенства:

1. Решение неравенства \( x^2 - 7x + 12 > 0 \)

Для начала найдем корни квадратного уравнения \( x^2 - 7x + 12 = 0 \) с помощью формулы дискриминанта:

\[ D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 49 - 48 = 1 \]

Корни уравнения:

\[ x_1 = \frac{7 + \sqrt{1}}{2} = \frac{8}{2} = 4 \] \[ x_2 = \frac{7 - \sqrt{1}}{2} = \frac{6}{2} = 3 \]

Значит, у нас есть корни \( x_1 = 4 \) и \( x_2 = 3 \). Теперь можем определить знаки параболы в интервалах:

\( (-\infty, 3) \)
\( (3, 4) \)
\( (4, +\infty) \)

Парабола открыта вверх, поэтому:

На интервале \( (-\infty, 3) \) значение \( x^2 - 7x + 12 \) положительно.
На интервале \( (3, 4) \) значение отрицательно.
На интервале \( (4, +\infty) \) снова положительно.

Таким образом, решение первого неравенства:

\[ x \in (-\infty, 3) \cup (4, +\infty) \]

2. Решение неравенства \( x^2 - 4x - 5 < 0 \)

Найдем корни квадратного уравнения \( x^2 - 4x - 5 = 0 \):

\[ D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36 \]

Корни уравнения:

\[ x_1 = \frac{4 + \sqrt{36}}{2} = \frac{10}{2} = 5 \] \[ x_2 = \frac{4 - \sqrt{36}}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \]

Теперь проверим знаки на интервалах:

\( (-\infty, -1) \)
\( (-1, 5) \)
\( (5, +\infty) \)

Парабола также открыта вверх, так что:

На интервале \( (-\infty, -1) \) значение отрицательно.
На интервале \( (-1, 5) \) значение положительно.
На интервале \( (5, +\infty) \) снова положительно.

Решение второго неравенства:

\[ x \in (-\infty, -1) \cup (5, +\infty) \]

Объединение решений

Теперь определим общее решение системы неравенств. Мы ищем пересечение решений:

\( x \in (-\infty, 3) \cup (4, +\infty) \)
\( x \in (-\infty, -1) \cup (5, +\infty) \)

Пересечение дает:

Из первого неравенства \( (-\infty, 3) \) пересекается с \( (-\infty, -1) \), что дает \( (-\infty, -1) \).
Второе решение из первого неравенства \( (4, +\infty) \) пересекается с \( (5, +\infty) \), что дает \( (5, +\infty) \).

Таким образом, итоговое решение системы неравенств:

\[ x \in (-\infty, -1) \cup (5, +\infty) \]

Если есть дальнейшие вопросы или нужна помощь с другими задачами, не стесняйтесь спрашивать!

Question 2

решите систему неравенств x^2-7x+12>0 x^2-4x-5<0

Answer

Давайте решим систему неравенств, состоящую из двух частей: 1. \( x^2 - 7x + 12 > 0 \) 2. \( x^2 - 4x - 5 < 0 \) Начнем с первого неравенства: ### 1. Решение неравенства \( x^2 - 7x + 12 > 0 \) Для начала найдем корни квадратного уравнения \( x^2 - 7x + 12 = 0 \) с помощью формулы дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 49 - 48 = 1 \] Корни уравнения: \[ x_1 = \frac{7 + \sqrt{1}}{2} = \frac{8}{2} = 4 \] \[ x_2 = \frac{7 - \sqrt{1}}{2} = \frac{6}{2} = 3 \] Значит, у нас есть корни \( x_1 = 4 \) и \( x_2 = 3 \). Теперь можем определить знаки параболы в интервалах: - \( (-\infty, 3) \) - \( (3, 4) \) - \( (4, +\infty) \) Парабола открыта вверх, поэтому: - На интервале \( (-\infty, 3) \) значение \( x^2 - 7x + 12 \) положительно. - На интервале \( (3, 4) \) значение отрицательно. - На интервале \( (4, +\infty) \) снова положительно. Таким образом, решение первого неравенства: \[ x \in (-\infty, 3) \cup (4, +\infty) \] ### 2. Решение неравенства \( x^2 - 4x - 5 < 0 \) Найдем корни квадратного уравнения \( x^2 - 4x - 5 = 0 \): \[ D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36 \] Корни уравнения: \[ x_1 = \frac{4 + \sqrt{36}}{2} = \frac{10}{2} = 5 \] \[ x_2 = \frac{4 - \sqrt{36}}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \] Теперь проверим знаки на интервалах: - \( (-\infty, -1) \) - \( (-1, 5) \) - \( (5, +\infty) \) Парабола также открыта вверх, так что: - На интервале \( (-\infty, -1) \) значение отрицательно. - На интервале \( (-1, 5) \) значение положительно. - На интервале \( (5, +\infty) \) снова положительно. Решение второго неравенства: \[ x \in (-\infty, -1) \cup (5, +\infty) \] ### Объединение решений Теперь определим общее решение системы неравенств. Мы ищем пересечение решений: 1. \( x \in (-\infty, 3) \cup (4, +\infty) \) 2. \( x \in (-\infty, -1) \cup (5, +\infty) \) Пересечение дает: - Из первого неравенства \( (-\infty, 3) \) пересекается с \( (-\infty, -1) \), что дает \( (-\infty, -1) \). - Второе решение из первого неравенства \( (4, +\infty) \) пересекается с \( (5, +\infty) \), что дает \( (5, +\infty) \). Таким образом, итоговое решение системы неравенств: \[ x \in (-\infty, -1) \cup (5, +\infty) \] Если есть дальнейшие вопросы или нужна помощь с другими задачами, не стесняйтесь спрашивать!