5.14. Упростите выражение: 1) ((4 ^ k * 3 ^ n) ^ 2) / ((4 ^ (k - 1) * 3 ^ (n - 1)) ^ 2) 2) ((7 ^ m * 9 ^ n) ^ 3) / ((7 ^ (m - 2) * 9 ^ n) ^ 3) 3) ((11 ^ k * 5 ^ t) ^ 4) / ((11 ^ k…

Давайте упростим каждое из данных выражений поэтапно.

1. Упрощение выражения: \[ \frac{(4^k \cdot 3^n)^2}{(4^{k - 1} \cdot 3^{n - 1})^2} \]

Для начала, воспользуемся свойством дробей и степеней: \[ = \frac{(4^k)^2 \cdot (3^n)^2}{(4^{k - 1})^2 \cdot (3^{n - 1})^2} \] \[ = \frac{4^{2k} \cdot 3^{2n}}{4^{2(k - 1)} \cdot 3^{2(n - 1)}} \] Вычтем показатели степени: \[ = 4^{2k - 2(k - 1)} \cdot 3^{2n - 2(n - 1)} \] Упростим показатели: \[ = 4^{2k - 2k + 2} \cdot 3^{2n - 2n + 2} = 4^2 \cdot 3^2 \] Таким образом, итог: \[ = 16 \cdot 9 = 144 \]

2. Упрощение выражения: \[ \frac{(7^m \cdot 9^n)^3}{(7^{m - 2} \cdot 9^n)^3} \]

По аналогии: \[ = \frac{(7^m)^3 \cdot (9^n)^3}{(7^{m - 2})^3 \cdot (9^n)^3} \] \[ = \frac{7^{3m} \cdot 9^{3n}}{7^{3(m - 2)} \cdot 9^{3n}} \] Вычтем показатели: \[ = 7^{3m - 3(m - 2)} \cdot 9^{3n - 3n} \] Упростим показатели: \[ = 7^{3m - 3m + 6} \cdot 9^0 = 7^6 \]

3. Упрощение выражения: \[ \frac{(11^k \cdot 5^t)^4}{(11^k \cdot 5^{t - 1})^4} \]

Сначала раскроем скобки: \[ = \frac{(11^k)^4 \cdot (5^t)^4}{(11^k)^4 \cdot (5^{t - 1})^4} \] \[ = \frac{11^{4k} \cdot 5^{4t}}{11^{4k} \cdot 5^{4(t - 1)}} \] В итоге получаем: \[ = 11^{4k - 4k} \cdot 5^{4t - 4(t - 1)} = 5^{4t - 4t + 4} = 5^4 = 625 \]

4. Упрощение выражения: \[ \frac{(13^m \cdot 6^k)^3}{(13^m \cdot 6^{k - 1})^3} \]

Раскроем скобки: \[ = \frac{(13^m)^3 \cdot (6^k)^3}{(13^m)^3 \cdot (6^{k - 1})^3} \] \[ = \frac{13^{3m} \cdot 6^{3k}}{13^{3m} \cdot 6^{3(k - 1)}} \] Вычтем показатели: \[ = 13^{3m - 3m} \cdot 6^{3k - 3(k - 1)} = 6^{3k - 3k + 3} = 6^3 = 216 \]

Итак, в итоге получили:

1. 144
2. \(7^6\)
3. 625
4. 216

Если остались вопросы или нужны дополнительные пояснения, всегда рад помочь!