y=||x²+x|-2|

Конечно! Рассмотрим функцию \( y = ||x^2 + x| - 2| \).

1. Строим внутреннюю часть: Сначала обратим внимание на \( |x^2 + x| \). Это абсолютное значение выражения \( x^2 + x \). Давайте найдем, когда \( x^2 + x \) будет положительным или отрицательным:

   • \( x^2 + x = x(x + 1) \)
   • Это выражение равно 0, когда \( x = 0 \) или \( x = -1 \).

   Таким образом, функция \( x^2 + x \) будет:

   • Положительной на интервалах \( (-\infty, -1) \) и \( (0, +\infty) \).
   • Отрицательной на интервале \( (-1, 0) \).

2. Вычисляем \( |x^2 + x| \):

   • Для \( x < -1 \): \( |x^2 + x| = x^2 + x \)
   • Для \( -1 \leq x < 0 \): \( |x^2 + x| = - (x^2 + x) = -x^2 - x \)
   • Для \( x \geq 0 \): \( |x^2 + x| = x^2 + x \)

3. Далее, подставляем в \( ||x^2 + x| - 2| \): Рассмотрим выражение \( |x^2 + x| - 2 \) для каждого из интервалов:

   • Для \( x < -1 \): \( y = |x^2 + x| - 2 = (x^2 + x) - 2 = x^2 + x - 2 \)
   • Для \( -1 \leq x < 0 \): \( y = -(-x^2 - x) - 2 = x^2 + x - 2 \)
   • Для \( x \geq 0 \): \( y = (x^2 + x) - 2 = x^2 + x - 2 \)

   Как видим, для всех интервалов у нас есть одно и то же выражение: \( y = x^2 + x - 2 \).

4. Теперь находим корни этого выражения: Уравнение \( x^2 + x - 2 = 0 \) можно решить через дискриминант:

   • Дискриминант: \( D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9 \)
   • Корни: \( x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm 3}{2} \)
     • \( x_1 = 1 \)
     • \( x_2 = -2 \)

5. Определяем, где \( y = 0 \): Мы нашли, что \( y = 0 \) при \( x = 1 \) и \( x = -2 \).

6. Теперь у нас есть вся информация для графика функции: Проверяем знаки функции на различных интервалах:

   • На интервале \( (-\infty, -2) \): \( y > 0 \)
   • Между \( -2 \) и \( 1 \): \( y < 0 \)
   • На \( (1, +\infty) \): \( y > 0 \)

Итак, функция \( y = ||x^2 + x| - 2| \) меняет знак в точках \( x = -2 \) и \( x = 1 \), и видим, что она всегда неотрицательна.

Если у вас есть дополнительные вопросы или что-то нужно уточнить, feel free to ask!