промежутки монотонности функции y=|x²-6x+5|

Для анализа промежутков монотонности функции \( y = |x^2 - 6x + 5| \), сначала необходимо рассмотреть функцию \( y = x^2 - 6x + 5 \) без модуля.

1. Найдем корни квадратного уравнения \( x^2 - 6x + 5 = 0 \): \[ x^2 - 6x + 5 = (x - 1)(x - 5) = 0 \] Корни: \( x_1 = 1 \) и \( x_2 = 5 \).

2. Определим промежутки, на которых \( x^2 - 6x + 5 \) положительно и отрицательно:

   • Для этого рассмотрим значения функции на интервалах:

     • \( (-\infty, 1) \)
     • \( (1, 5) \)
     • \( (5, +\infty) \)

   • Проверим знак функции на каждом из промежутков:

     • Для \( x < 1 \) (например, \( x = 0 \)): \( 0^2 - 6(0) + 5 = 5 > 0 \) (функция положительна).
     • Для \( 1 < x < 5 \) (например, \( x = 3 \)): \( 3^2 - 6(3) + 5 = 9 - 18 + 5 = -4 < 0 \) (функция отрицательна).
     • Для \( x > 5 \) (например, \( x = 6 \)): \( 6^2 - 6(6) + 5 = 36 - 36 + 5 = 5 > 0 \) (функция положительна).

   Таким образом, функция \( y = x^2 - 6x + 5 \):

   • Положительна на интервале \( (-\infty, 1) \) и \( (5, +\infty) \).
   • Отрицательна на интервале \( (1, 5) \).

3. Найдем производную функции \( y = x^2 - 6x + 5 \): \[ y' = 2x - 6 \]

4. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: \[ 2x - 6 = 0 \implies x = 3 \]

5. Анализируем знак производной на промежутках:

   • Для \( x < 3 \) (например, \( x = 0 \)): \( y' = 2(0) - 6 = -6 < 0 \) (функция убывает).
   • Для \( x > 3 \) (например, \( x = 4 \)): \( y' = 2(4) - 6 = 2 > 0 \) (функция возрастает).

6. Теперь подведем итог, учитывая модуль:

   • На промежутке \( (-\infty, 1) \), функция \( y \) положительна, и убывает.
   • На промежутке \( (1, 3) \), функция \( y \) отрицательна, и убывает.
   • На промежутке \( (3, 5) \), функция \( y \) отрицательна, и возрастает.
   • На промежутке \( (5, +\infty) \), функция \( y \) положительна, и возрастает.

Таким образом, интервалы монотонности для функции \( y = |x^2 - 6x + 5| \) можно описать так:

• Убывает на \( (-\infty, 1) \) и \( (1, 3) \).
• Возрастает на \( (3, 5) \) и \( (5, +\infty) \).

Если есть дополнительные вопросы или нужно уточнить что-то еще, не стесняйтесь спрашивать!