Найдите НОД и НОК чисел m и k M=2*2*3*3*5*5*7*7 K=2*2*5*7*11
Чтобы найти наибольший общий делитель (НОД) и наименьшее общее кратное (НОК) чисел \(m\) и \(k\), сначала представим их в виде разложения на простые множители.
Дано:
- \(m = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5^2 \cdot 7^2\)
- \(k = 2^2 \cdot 5^1 \cdot 7^1 \cdot 11^1\)
Шаг 1: Нахождение НОД
Для вычисления НОД мы берем минимальные степени всех простых множителей, встречающихся в разложении обоих чисел:
- Для \(2\): минимум из \(2\) (в \(m\)) и \(2\) (в \(k\)) = \(2^2\)
- Для \(3\): минимум из \(2\) (в \(m\)) и \(0\) (в \(k\)) = \(3^0\)
- Для \(5\): минимум из \(2\) (в \(m\)) и \(1\) (в \(k\)) = \(5^1\)
- Для \(7\): минимум из \(2\) (в \(m\)) и \(1\) (в \(k\)) = \(7^1\)
- Для \(11\): минимум из \(0\) (в \(m\)) и \(1\) (в \(k\)) = \(11^0\)
Таким образом, НОД будет равен: \[ \text{НОД}(m, k) = 2^2 \cdot 3^0 \cdot 5^1 \cdot 7^1 \cdot 11^0 = 4 \cdot 1 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 1 = 140 \]
Шаг 2: Нахождение НОК
Для вычисления НОК мы берем максимальные степени всех простых множителей:
- Для \(2\): максимум из \(2\) (в \(m\)) и \(2\) (в \(k\)) = \(2^2\)
- Для \(3\): максимум из \(2\) (в \(m\)) и \(0\) (в \(k\)) = \(3^2\)
- Для \(5\): максимум из \(2\) (в \(m\)) и \(1\) (в \(k\)) = \(5^2\)
- Для \(7\): максимум из \(2\) (в \(m\)) и \(1\) (в \(k\)) = \(7^2\)
- Для \(11\): максимум из \(0\) (в \(m\)) и \(1\) (в \(k\)) = \(11^1\)
Таким образом, НОК будет равен: \[ \text{НОК}(m, k) = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5^2 \cdot 7^2 \cdot 11^1 \]
Теперь вычтем это значение: \[ \text{НОК}(m, k) = 4 \cdot 9 \cdot 25 \cdot 49 \cdot 11 \] Сначала умножим \(4\) и \(9\): \[ 4 \cdot 9 = 36 \] Затем \(36\) и \(25\): \[ 36 \cdot 25 = 900 \] Теперь \(900\) и \(49\): \[ 900 \cdot 49 = 44100 \] Наконец, умножим на \(11\): \[ 44100 \cdot 11 = 485100 \]
Ответ:
- НОД(m, k) = 140
- НОК(m, k) = 485100
Если у вас есть дополнительные вопросы по этой теме или другим разделам, пожалуйста, задавайте!
