Доведіть, що є непарною функція: 1) f(x) = - 4x ^ 3 + 2x 3) f(x) = sqrt(9 - x) - sqrt(9 + x) 2) f(x) = (x ^ 3 + 3x)/(2x ^ 2 + 1) 4) f(x) = 2x + x/|x|

Чтобы доказать, что функция является непарной, необходимо показать, что для функции \( f(x) \) выполняется равенство:

\[ f(-x) = -f(x) \]

Рассмотрим каждую из предложенных функций.

1. \( f(x) = -4x^3 + 2x \)

Давайте найдем \( f(-x) \):

\[ f(-x) = -4(-x)^3 + 2(-x) = -4(-x^3) - 2x = 4x^3 - 2x \]

Теперь, найдем \(-f(x)\):

\[ -f(x) = -(-4x^3 + 2x) = 4x^3 - 2x \]

Так как \( f(-x) = -f(x) \), функция первая является непарной.

2. \( f(x) = \frac{x^3 + 3x}{2x^2 + 1} \)

Теперь найдем \( f(-x) \):

\[ f(-x) = \frac{(-x)^3 + 3(-x)}{2(-x)^2 + 1} = \frac{-x^3 - 3x}{2x^2 + 1} \]

Теперь, найдем \(-f(x)\):

\[ -f(x) = -\frac{x^3 + 3x}{2x^2 + 1} = \frac{-(x^3 + 3x)}{2x^2 + 1} = \frac{-x^3 - 3x}{2x^2 + 1} \]

Таким образом, \( f(-x) = -f(x) \), следовательно, вторая функция также является непарной.

3. \( f(x) = \sqrt{9 - x} - \sqrt{9 + x} \)

Теперь найдем \( f(-x) \):

\[ f(-x) = \sqrt{9 - (-x)} - \sqrt{9 + (-x)} = \sqrt{9 + x} - \sqrt{9 - x} \]

Теперь, найдем \(-f(x)\):

\[ -f(x) = -(\sqrt{9 - x} - \sqrt{9 + x}) = -\sqrt{9 - x} + \sqrt{9 + x} = \sqrt{9 + x} - \sqrt{9 - x} \]

Мы видим, что \( f(-x) = -f(x) \). Следовательно, третья функция также непарная.

4. \( f(x) = 2x + \frac{x}{|x|} \)

Здесь важно учитывать, что функция \( \frac{x}{|x|} \) определена только для \( x \neq 0 \).

Теперь найдем \( f(-x) \) для \( x > 0 \):

\[ f(-x) = 2(-x) + \frac{-x}{|-x|} = -2x - 1 = -2x - 1 \]

Теперь найдем \(-f(x)\):

Для \( x > 0 \):

\[ -f(x) = -\left(2x + 1\right) = -2x - 1 \]

Мы видим, что \( f(-x) = -f(x) \), следовательно, функция тоже является непарной.

Таким образом, все четыре функции, указанные в задаче, являются непарными.