Докажите, что числа 864 и 875 взаимно простые.

Чтобы доказать, что числа 864 и 875 являются взаимно простыми, необходимо показать, что наибольший общий делитель (НОД) этих двух чисел равен 1.

1. Разложим каждое число на простые множители:

   • Для числа 864:

     • 864 делим на 2: 864 ÷ 2 = 432
     • 432 делим на 2: 432 ÷ 2 = 216
     • 216 делим на 2: 216 ÷ 2 = 108
     • 108 делим на 2: 108 ÷ 2 = 54
     • 54 делим на 2: 54 ÷ 2 = 27
     • 27 делим на 3: 27 ÷ 3 = 9
     • 9 делим на 3: 9 ÷ 3 = 3
     • 3 делим на 3: 3 ÷ 3 = 1

     Таким образом, разложение 864 на простые множители: \( 864 = 2^5 \times 3^3 \)

   • Для числа 875:

     • 875 делим на 5: 875 ÷ 5 = 175
     • 175 делим на 5: 175 ÷ 5 = 35
     • 35 делим на 5: 35 ÷ 5 = 7
     • 7 делим на 7: 7 ÷ 7 = 1

     Таким образом, разложение 875 на простые множители: \( 875 = 5^3 \times 7 \)

2. Теперь сравним множители:

   • Простые множители 864: 2 и 3.
   • Простые множители 875: 5 и 7.

3. Выявим общие множители: Из разобранных множителей видно, что у 864 и 875 нет общих простых множителей.

4. Заключение: Поскольку их НОД равен 1 (так как нет общих множителей), числа 864 и 875 являются взаимно простыми.

Таким образом, мы доказали, что 864 и 875 взаимно простые числа.