√5-x -√5+x = 2 с ОДЗ

Для решения уравнения √(5 - x) - √(5 + x) = 2, начнем с того, что у нас есть корни. Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Чтобы выражения под корнями были неотрицательными, нужно выполнить следующие условия:

1. Для корня √(5 - x): 5 - x ≥ 0, откуда x ≤ 5.
2. Для корня √(5 + x): 5 + x ≥ 0, откуда x ≥ -5.

Таким образом, область допустимых значений: -5 ≤ x ≤ 5.

Теперь возьмем наше уравнение:

√(5 - x) - √(5 + x) = 2.

Можно выразить один из корней через другой:

√(5 - x) = √(5 + x) + 2.

Теперь возведем обе части в квадрат:

(√(5 - x))^2 = (√(5 + x) + 2)^2.

Тогда получим:

5 - x = (5 + x) + 4√(5 + x) + 4.

Упростим это уравнение:

5 - x = 9 + x + 4√(5 + x).

Переносим все на одну сторону:

5 - x - 9 - x = 4√(5 + x),

что дает:

-2x - 4 = 4√(5 + x).

Теперь разделим обе стороны на 4:

-2x - 4 = 4√(5 + x)
=> -2x - 4 = 4√(5 + x) \implies -\frac{1}{2}(2x + 4) = √(5 + x).

Теперь возводим обе стороны в квадрат снова:

(-\frac{1}{2}(2x + 4))^2 = 5 + x.

Это дает:

\frac{(2x + 4)^2}{4} = 5 + x.

Теперь умножим обе стороны на 4:

(2x + 4)^2 = 20 + 4x.

Решаем это уравнение.

Раскроем скобки:

4x^2 + 16x + 16 = 20 + 4x.

Соберем все в одну сторону:

4x^2 + 16x + 16 - 20 - 4x = 0.

Получаем:

4x^2 + 12x - 4 = 0.

Теперь упростим уравнение, разделив на 4:

x^2 + 3x - 1 = 0.

Для решения используем формулу квадратного уравнения:

x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a, где a = 1, b = 3, c = -1.

Таким образом, дискриминант:

D = 3^2 - 41(-1) = 9 + 4 = 13.

Теперь подставим в формулу:

x = (-3 ± √13) / 2.

Проверяем найденные корни на область допустимых значений.

Корни будут:

x1 = (-3 + √13) / 2 и x2 = (-3 - √13) / 2.

Посмотрим, удовлетворяют ли они области -5 ≤ x ≤ 5.

Теперь можно провести финальную проверку подстановки найденных значений в начальное уравнение, чтобы убедиться, что они являются решениями.

Если у вас возникнут дополнительные вопросы по этой теме, не стесняйтесь задавать!