X+4/(x+5)x<0

Давайте разберем неравенство \( \frac{x + 4}{(x + 5)x} < 0 \).

Шаг 1: Находим нули и области знака

1. Нули числителя: Числитель равен нулю, когда \( x + 4 = 0 \), то есть \( x = -4 \).

2. Нули знаменателя: Знаменатель равен нулю, когда \( (x + 5)x = 0 \). Это происходит при \( x = 0 \) и \( x = -5 \).

Теперь у нас есть три ключевых значения, которые определяют интервалы: \( -5, -4 \) и \( 0 \).

Шаг 2: Создаем интервалы

Мы разбиваем числовую прямую на следующие интервалы:

• \( (-\infty, -5) \)
• \( (-5, -4) \)
• \( (-4, 0) \)
• \( (0, +\infty) \)

Шаг 3: Проверяем знак на каждом интервале

Теперь проверим знак выражения \( \frac{x + 4}{(x + 5)x} \) на каждом из интервалов:

1. Интервал \( (-\infty, -5) \): Например, возьмем \( x = -6 \): \[ \frac{-6 + 4}{(-6 + 5)(-6)} = \frac{-2}{(-1)(-6)} = \frac{-2}{6} < 0 \] (Знак отрицательный)

2. Интервал \( (-5, -4) \): Например, \( x = -4.5 \): \[ \frac{-4.5 + 4}{(-4.5 + 5)(-4.5)} = \frac{-0.5}{(0.5)(-4.5)} = \frac{-0.5}{-2.25} > 0 \] (Знак положительный)

3. Интервал \( (-4, 0) \): Например, \( x = -2 \): \[ \frac{-2 + 4}{(-2 + 5)(-2)} = \frac{2}{(3)(-2)} = \frac{2}{-6} < 0 \] (Знак отрицательный)

4. Интервал \( (0, +\infty) \): Например, \( x = 1 \): \[ \frac{1 + 4}{(1 + 5)(1)} = \frac{5}{(6)(1)} = \frac{5}{6} > 0 \] (Знак положительный)

Шаг 4: Итоговые решения

Теперь мы можем собрать знаки на каждом интервале:

• \( (-\infty, -5) \): < 0
• \( (-5, -4) \): > 0
• \( (-4, 0) \): < 0
• \( (0, +\infty) \): > 0

Шаг 5: Включения/исключения границ

• В точке \( x = -5 \) выражение не определено.
• В точке \( x = -4 \) равно нулю (не входит).
• В точке \( x = 0 \) тоже не определено.

Таким образом, решение неравенства: \[ x \in (-\infty, -5) \cup (-4, 0) \]

Если есть вопросы или нужно объяснить что-то детальнее, смело спрашивайте!