В правильной треугольной пирамиде ЅАВС все ребра равны, точка К- середина ребра ЅВ, точка М середина ребра ВС. Найдите косинус угла между прямыми АК и ЅМ.

Для решения этой задачи начнем с обозначения вершин правильной треугольной пирамиды. Пусть вершина пирамиды — точка \( S \), а основания треугольника — точки \( A \), \( B \) и \( C \). В правильной треугольной пирамиде все рёбра равны, что означает, что длина рёбер равна \( a \).

1. Определим координаты вершин пирамиды.

   • Пусть \( A(0, 0, 0) \), \( B(a, 0, 0) \), \( C\left(\frac{a}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}a, 0\right) \).
   • Высота пирамиды будет равна \( h = \sqrt{a^2 - \left(\frac{a}{\sqrt{3}}\right)^2} = \frac{\sqrt{6}}{3}a \) и, следовательно, \( S\left(\frac{a}{2}, \frac{\sqrt{3}}{6}a, h\right) \).

2. Найдем точку \( K \) — середина ребра \( SB \): \[ K\left(\frac{\frac{a}{2} + a}{2}, \frac{\frac{\sqrt{3}}{6}a + 0}{2}, \frac{h + 0}{2}\right) = K\left(\frac{3a}{4}, \frac{\sqrt{3}}{12}a, \frac{\sqrt{6}}{6}a\right). \]

3. Найдем точку \( M \) — середина ребра \( BC \): \[ M\left(\frac{a + \frac{a}{2}}{2}, \frac{0 + \frac{\sqrt{3}}{2}a}{2}, 0\right) = M\left(\frac{3a}{4}, \frac{\sqrt{3}}{4}a, 0\right). \]

4. Теперь определим векторы \( \overrightarrow{AK} \) и \( \overrightarrow{SM} \): \[ \overrightarrow{AK} = K - A = \left(\frac{3a}{4} - 0, \frac{\sqrt{3}}{12}a - 0, \frac{\sqrt{6}}{6}a - 0\right) = \left(\frac{3a}{4}, \frac{\sqrt{3}}{12}a, \frac{\sqrt{6}}{6}a\right), \] \[ \overrightarrow{SM} = M - S = \left(\frac{3a}{4} - \frac{a}{2}, \frac{\sqrt{3}}{4}a - \frac{\sqrt{3}}{6}a, 0 - \frac{\sqrt{6}}{3}a\right). \] Упростим: \[ \overrightarrow{SM} = \left(\frac{a}{4}, \frac{\sqrt{3}}{12}a, -\frac{\sqrt{6}}{3}a\right). \]

5. Теперь найдем косинус угла \( \theta \) между векторами \( \overrightarrow{AK} \) и \( \overrightarrow{SM} \), который можно вычислить по формуле: \[ \cos \theta = \frac{\overrightarrow{AK} \cdot \overrightarrow{SM}}{|\overrightarrow{AK}| |\overrightarrow{SM}|}. \] Сначала найдем скалярное произведение: \[ \overrightarrow{AK} \cdot \overrightarrow{SM} = \left(\frac{3a}{4}\right)\left(\frac{a}{4}\right) + \left(\frac{\sqrt{3}}{12}a\right)\left(\frac{\sqrt{3}}{12}a\right) + \left(\frac{\sqrt{6}}{6}a\right)\left(-\frac{\sqrt{6}}{3}a\right). \] Упрощая это выражение, получаем: \[ = \frac{3a^2}{16} + \frac{3a^2}{144} - \frac{6a^2}{18} = \frac{3a^2}{16} + \frac{a^2}{48} - \frac{a^2}{3}. \] Переведем все дроби к общему знаменателю 48: \[ = \frac{9a^2}{48} + \frac{a^2}{48} - \frac{16a^2}{48} = \frac{-6a^2}{48} = -\frac{a^2}{8}. \]

6. Теперь найдем длины векторов: \[ |\overrightarrow{AK}| = \sqrt{\left(\frac{3a}{4}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{12}a\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{6}}{6}a\right)^2} = \sqrt{\frac{9a^2}{16} + \frac{3a^2}{144} + \frac{6a^2}{36}}. \] Приведем к общему знаменателю: \[ = \sqrt{\frac{81a^2}{144} + \frac{3a^2}{144} + \frac{24a^2}{144}} = \sqrt{\frac{108a^2}{144}} = \frac{a\sqrt{3}}{4}. \]

   Аналогично для \( |\overrightarrow{SM}| \): \[ |\overrightarrow{SM}| = \sqrt{\left(\frac{a}{4}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{12}a\right)^2 + \left(-\frac{\sqrt{6}}{3}a\right)^2} = \sqrt{\frac{a^2}{16} + \frac{3a^2}{144} + \frac{6a^2}{9}}. \] Приведем к общему знаменателю: \[ = \sqrt{\frac{9a^2}{144} + \frac{3a^2}{144} + \frac{96a^2}{144}} = \sqrt{\frac{108a^2}{144}} = \frac{a\sqrt{3}}{4}. \]

7. Теперь подставим всё в формулу для косинуса: \[ \cos \theta = \frac{-\frac{a^2}{8}}{\left(\frac{a\sqrt{3}}{4}\right) \left(\frac{a\sqrt{3}}{4}\right)} = \frac{-\frac{a^2}{8}}{\frac{3a^2}{16}} = -\frac{2}{3}. \]

Таким образом, косинус угла между прямыми \( AK \) и \( SM \) равен \( -\frac{2}{3} \).