тело движется прямолинейно со скоростью v(t)=2t²+t. найти путь пройденный телом за 3 секунды от начала движения

Для того чтобы найти путь, пройденный телом за 3 секунды, нужно вычислить интеграл функции скорости v(t) от 0 до 3 секунд. Функция скорости дана как v(t) = 2t² + t.

Путь S можно найти по формуле:

\[ S = \int_{0}^{3} v(t) \, dt = \int_{0}^{3} (2t^2 + t) \, dt. \]

Теперь вычислим этот интеграл.

1. Найдем неопределённый интеграл:

\[ \int (2t^2 + t) \, dt = \frac{2t^3}{3} + \frac{t^2}{2} + C, \]

где C — константа интегрирования.

2. Теперь подставим пределы интегрирования от 0 до 3:

\[ S = \left[ \frac{2t^3}{3} + \frac{t^2}{2} \right]_{0}^{3}. \]

3. Вычислим значение в верхнем пределе (t = 3):

\[ S(3) = \frac{2(3^3)}{3} + \frac{(3^2)}{2} = \frac{2(27)}{3} + \frac{9}{2} = 18 + 4.5 = 22.5. \]

4. Теперь значение в нижнем пределе (t = 0):

\[ S(0) = \frac{2(0^3)}{3} + \frac{(0^2)}{2} = 0. \]

5. Теперь найдем путь:

\[ S = S(3) - S(0) = 22.5 - 0 = 22.5 \text{ метров}. \]

Таким образом, путь, пройденный телом за 3 секунды, составляет 22.5 метра.